Compléments d'analyse dans \(\mathbb{R}^n\)

Section 8 Applications de la dérivation

Par exemple, les points suivants sont dans \([a,b]\text{:}\)

Par exemple, dans le schéma ci-dessous, on peut utiliser le théorème de la valeur moyenne entre \(u_2\) et \(u_3\text{,}\) mais pas entre \(u_0\) et \(u_1\) ni entre \(u_4\) et \(u_5\text{:}\)

Estimation d'erreurs

Remarquons que, comme \(A\) est un ouvert, pour tout \(u_0\in A\text{,}\) on a une boule \(B_r(u_0)\) autour de ce point qui est incluse dans \(A\text{.}\) Et du coup, si on prend un petit vecteur \(\Delta x\text{,}\) avec \(\|\Delta u\|\lt r\text{,}\) \(u_0+\Delta u\) est aussi un point de \(A\text{,}\) et le segment qui relie \(u_0\) à \(u_0+\Delta u\) est inclus dans la boule \(B_r(u_0)\text{,}\) donc dans \(A\text{.}\)

\(\leadsto\) On peut appliquer le théorème de la moyenne sur le segment \([u_0,u_0+\Delta u]\text{:}\) on a un \(v \in [u_0,u_0+\Delta u]\) tel que

\(\leadsto\) Si les dérivées partielles de \(f\) sont continues, quand \(\Delta\) est petit, \(v \in [u_0,u_0+\Delta u]\) est très proche de \(u_0\text{,}\) et donc \(\nabla f(v)\) est très proche de \(\nabla f (u_0)\text{:}\) donc on peut approximer

\(\leadsto\) Ce qui nous permet de faire des évaluations d'erreur: une fois qu'on sort du royaume de la perfection mathématiques pour s'attaquer à des problèmes réels, on ne peut pas forcément mesurer nos variables avec une précision infinie (en tout cas, c'est ce que m'ont dit les gens qui s'adonnent à ce genre de choses).

Dans ce cas, si on estime que l'erreur qu'on commet en mesurant \(u_0\) est \(\Delta u\text{,}\) l'erreur qu'on commet en calculant \(f(u_0)\) est estimée à

Fonctions constantes

Une autre application de la dérivation concerne les fonctions constantes.

Pour une fonction \(f:D_f\subset \R \rightarrow \R\) à une seule variable, dérivable, il est bien connu que, si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\in D_f\text{,}\) alors \(f\) est constante.

Vraiment ?

Même pour la fonction \(f\) définie sur \(D_f=\,]\,0,1\,[\, \cup \,]\,2,3\,[\,\) par

\(\leadsto\) \(f\) est dérivable sur \(D_f\text{,}\) sa dérivée est tout à fait nulle, mais \(f\) n'est pas constante sur \(D_f\text{:}\) elle prend deux valeurs différentes.

Par contre, \(f\) est constante sur chaque "morceau" de \(D_f\text{.}\)

\(\leadsto\) Comment parler mathématiquement de "morceau" d'un ensemble ?

Dans \(\R\text{,}\) c'est facile : un ensemble "en un seul morceau", c'est un intervalle. Mais dans \(\R^n\text{,}\) comme toujours, les possibilités sont beaucoup plus variées:

Dans un premier temps, on va chercher l'inspiration dans \(\R\text{:}\) comme on a vu, une union d'intervalles séparés les uns des autres n'est pas "en un seul morceau". On dira, plus élégamment, "connexe".

Mais ce n'est pas vrai non plus qu'une union d'intervalles disjoints est forcément en plusieurs morceaux: par exemple, \(\R=\lbb-\infty,0] \cup \lbb 0,+\infty\rbb\) est l'union de deux intervalles disjoints, mais on a quand même envie de dire qu'il est d'un seul tenant. Pardon, connexe.

\(\leadsto\) Par contre, une union de deux intervalles ouverts disjoints n'est certainement pas en un seul morceau.

Enfin, sauf si un des deux est vide ! ²

D'où:

Et pour les ensembles pas ouverts ?

\(\leadsto\) Dans ce cas, on va se focaliser sur la possibilité de séparer les différents morceaux, quelle que soit leur apparence, dans des ouverts disjoints non vides:

Une autre possibilité, plus géométrique, consiste à observer que, si un ensemble est en un seul morceau, alors on peut relier ses points par un chemin continu:

La connexité et la connexité par arcs, ce n'est pas tout à fait la même chose:

• Tous les ensembles connexes par arcs sont connexes;

• Par contre, il existe des ensembles connexes qui ne sont pas connexes par arcs. Par exemple, le graphe de la fonction \(\sin(\frac1x))\text{:}\)

  

  Voir ici³.