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Section 1 Normes

Définition 1.1.

Soit \(E\) un espace vectoriel, une norme sur \(E\) est une application \(N:E\mapsto \R\) tel que:

(N1)
Pour tout \(u\in E\text{,}\) \(N(u)\geq 0\text{.}\)
(N2)
Pour tout \(u\in E\text{,}\) \(N(u)=0 \iff u=0_E\text{.}\)
(N3)
Pour tout \(u\in E\text{,}\) pour tout \(\lambda\in\R\text{,}\) \(N(\lambda u)=|\lambda|\,N(u)\text{.}\)
(N4)
Pour tous \(u,v\in E\text{,}\) \(N(u+v)\leq N(u)+N(v)\text{.}\)

Exercice Normes sur divers e.v.

1.

On considère l'ensemble \(E=\mathcal C^1([0,1],\R)\) des fonctions dérivables \([0,1]\rightarrow \R\) dont la dérivée est continue.

Pour \(f\in \mathcal C^1([0,1],\R)\text{,}\) on pose:

\begin{equation*} N(f)= |f(0)| + \sup_{x\in[0,1]}|f'(x)|. \end{equation*}

  1. Justifier que \(E\) est un espace vectoriel.

  2. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(E\text{.}\)

  3. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

2.

On considère l'ensemble \(E=\mathcal C^1([0,1],\R)\) des fonctions dérivables \([0,1]\rightarrow \R\) dont la dérivée est continue.

Pour \(f\in \mathcal C^1([0,1],\R)\text{,}\) on pose:

\begin{equation*} N(f)= |f(0)| + \int_0^1|f'(t)|dt. \end{equation*}

  1. Justifier que \(E\) est un espace vectoriel.

  2. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(E\text{.}\)

  3. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

3.

On considère l'ensemble \(E=\{ f \in \mathcal C^1([0,1],\R), f(0)=0\}\text{.}\)

Pour \(f\in \mathcal C^1([0,1],\R)\text{,}\) on pose:

\begin{equation*} N(f)= \sup_{x\in[0,1]}|f'(x)|\in \R. \end{equation*}

  1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel.

  2. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(\mathcal C^1([0,1],\R)\text{.}\)

  3. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

  4. Est-ce que \(N\) est une norme sur \(\mathcal C^1([0,1],\R)\) ?

Spoiler.

4.

On considère l'ensemble \(E=B\mathcal C^0(\R)\) des fonctions continues bornées sur \(\R\text{.}\) On pose:

\begin{equation*} N: f \in E \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}|f(t)| dt\in \R. \end{equation*}

  1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel.

  2. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(E\text{.}\)

  3. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

  4. Est-ce que \(N\) est une norme sur sur l'espace vectoriel de toutes les fonctions bornées sur \(\R\) ?

Spoiler.

5.

On considère l'ensemble \(\mathcal C^0([0,1],\R)\text{.}\) Soit \(g\in \mathcal C^0([0,1])\) une fonction strictement positive sur \([0,1]\text{.}\) On pose:

\begin{equation*} N: f \in \mathcal C^0([0,1]) \mapsto \sup_{x\in[0,1]}|g(x)f(x)|\in \R. \end{equation*}

  1. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(\mathcal C^0([0,1])\text{.}\)

  2. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\mathcal C^0([0,1])\text{.}\)

  3. Montrer que cette norme est équivalente à la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{x\in[0,1]}|f(x)|\text{.}\)

Spoiler.

6.

On considère l'ensemble des suites réelles bornées:

\begin{equation*} \ell^\infty=\{(u_n)_n \in \R^\N,\ \exists M>0,\,\forall n \in \N,\ |u_n|\leq M\} \end{equation*}

Pour \((u_n)_n \in E\text{,}\) on pose

\begin{equation*} N((u_n)_n)= \sum_{n\geq 0}\frac {|u_n|}{2^n} \end{equation*}

  1. Justifier que \(\ell^\infty\) est un espace vectoriel.

  2. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(\ell^\infty\text{.}\)

  3. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\ell^\infty\text{.}\)

7.

On considère l'espace vectoriel \(E\) des suites réelles qui tendent vers 0:

\begin{equation*} E=\{(u_n)_n \in \R^\N,\ u_n\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}0\} \end{equation*}

Pour \((u_n)_n \in E\text{,}\) on pose

\begin{equation*} N((u_n)_n)= \sum_{n\geq 0}\frac {|u_n|}{3^n} \end{equation*}

  1. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(E\text{.}\)

  2. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

8.

On considère l'espace vectoriel \(E\) des suites réelles qui tendent vers 0:

\begin{equation*} E=\{(u_n)_n \in \R^\N,\ u_n\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}0\} \end{equation*}

Pour \((u_n)_n \in E\text{,}\) on pose

\begin{equation*} N((u_n)_n)= \sum_{n\geq 0}\frac {|u_n|}{3^n} \end{equation*}

  1. Justifier que \(N\) est bien définie sur \(E\text{.}\)

  2. Montrer que \(N\) est une norme sur \(E\text{.}\)

9.

On considère l'espace vectoriel \(\R[X]\) des polynômes à coefficients réels.

On rappelle que \(\R_2[X]\text{,}\) l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, est un s.e.v. de \(E\text{.}\)

Pour \(P\in \R[X]\text{,}\) on pose

\begin{equation*} N(P) = |P(-1)|+|P(0)|+|P(1)| \end{equation*}

  1. Montrer que \(N\) est une norme sur \(\R_2[X]\text{.}\)

  2. Est-ce une norme sur \(\R[X]\) ?

Indice.

A quelle condition a-t-on \(N(P)=0\) ?

Spoiler.

10.

On considère l'espace vectoriel \(\R[X]\) des polynômes à coefficients réels. Soit \(A\subset \R\text{.}\) Pour \(P\in \R[X]\text{,}\) on définit

\begin{equation*} \|P\|_A = \sup_{x\in A}|P(x)| \end{equation*}

  1. Si \(A=\{a_1,\ldots,a_n\}\) est un ensemble fini, montrer qu'il existe un polynôme non nul \(P\) tel que \(\|P\|_A=0\text{.}\)

    En déduire que \(\|.\|_A\) n'est pas une norme dans ce cas.

  2. Si \(A=[0,1]\text{,}\) montrer que \(\|.\|_A\) est une norme sur \(\R[X]\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 1.1.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R_2[X]\text{.}\) On pose, pour \(P(X)=\sum_{k=0}^2 a_kX^k\text{,}\)

\begin{equation*} N_1: P \in E \mapsto \sum_{k=0}^2 2^k|a_k|,\quad N_2: P \in E \mapsto \sum_{k=0}^2 k^2|a_k| \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N_1\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

On rappelle que \(\|P\|=\sum_{k=0}^2 |a_k|\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Montrer par le calcul que \(N_1\) et \(\|.\|\) sont équivalentes.

Spoiler.

(c)

\(N_2\) est-elle une norme sur \(E\) ?

Spoiler.

Exercice 1.2.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R_2[X]\text{.}\) On pose, pour \(P(X)=\sum_{k=0}^2 a_kX^k\text{,}\)

\begin{equation*} N_1: P \in E \mapsto \sum_{k=0}^2 (k^2+1)|a_k|,\quad N_2: P \in E \mapsto \sum_{k=0}^2 k|a_k| \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N_1\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

On rappelle que \(\|P\|=\sum_{k=0}^2 |a_k|\) est une norme sur \(E\text{.}\)

Montrer par le calcul que \(N_1\) et \(\|.\|\) sont équivalentes.

Spoiler.

(c)

\(N_2\) est-elle une norme sur \(E\) ?

Spoiler.

Exercice 1.3.

On considère l'espace vectoriel \(\ell_1=\{(u_n)_n\in\R^\N, \sum_n |u_n| \lt \infty\}\text{.}\) On pose

\begin{equation*} N: (u_n)_n \in \ell_1 \mapsto \sum_{n\in \N} \frac{|u_n|}{n+1}\in \R. \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N\) est bien définie et définit une norme sur \(\ell_1\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Justifier que l'ensemble

\begin{equation*} F=\bigcup_{k=1}^{14}\left\{(u_n)_n\in \ell_1, \sum_{n\in \N} \frac{|u_n|}{n+1} \leq k^2\right\} \end{equation*}

est un fermé de \((\ell_1,N)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 1.4.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R^{(\N)}\text{.}\) On pose

\begin{equation*} N: (u_n)_n \in E \mapsto \sum_{n\in \N} 2^n|u_n|\in \R. \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N\) est bien définie et définit une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Justifier que l'ensemble

\begin{equation*} \mathcal U= \bigcup_{1\lt r\lt 2}\{(u_n)_n\in E, \sum_{n\in \N} 2^n|u_n| \lt r\} \end{equation*}

est un ouvert de \((E,N)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 1.5.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R[X]\text{.}\) On pose

\begin{equation*} N: P \in E \mapsto \sup_{x\in[0,1]}|P(3x)|\in \R. \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N\) est bien définie et définit une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Justifier que l'ensemble

\begin{equation*} F= \{P\in E, \forall x\in[0,3], |P(x)| > 3\} \end{equation*}

est un ouvert de \((E,N)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 1.6.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R[X]\text{.}\) On pose

\begin{equation*} N: P \in E \mapsto \int_{0}^1|P(2t)|dt\in \R. \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N\) est bien définie et définit une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Justifier que l'ensemble

\begin{equation*} \mathcal U= \left\{P\in E, \int_0^2|P(x)|dx \lt 1\right\} \end{equation*}

est un ouvert de \((E,N)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 1.7.

On considère l'espace vectoriel \(E=\R[X]\text{.}\) On pose

\begin{equation*} N: P \in E \mapsto 2\sup_{x\in[0,1]}|P(x)|\in \R. \end{equation*}

(a)

Montrer que \(N\) est bien définie et définit une norme sur \(E\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Justifier que l'ensemble

\begin{equation*} F= \{P\in E, \forall x\in[0,1], |P(x)| \leq 3\} \end{equation*}

est un fermé de \((E,N)\text{.}\)

Spoiler.