Ouverts et fermés de \R et \R^2 intérieurs, adhérence.

Section 3 Ouverts et fermés de \(\R\) et \(\R^2\text{,}\) intérieurs, adhérence.

Figure 3.1.
Par Oleg Alexandrov, Domaine public.

Définition 3.2. Voisinage d'un point et ensemble ouvert.

On dit qu'une partie \(A \subset E\) est un voisinage de \(x \in A\) s'il existe \(r>0\) tel que \(B(x, r) \subset A\text{.}\)
On dit que \(A\subset E\) est ouvert dans \(E\) si pour tout \(a \in A\text{,}\) \(A\) est un voisinage de \(a\text{,}\) autrement dit

\begin{equation*} \forall\, a\in A,\, \exists r>0 \text{ tel que } B(a, r) \subset A. \end{equation*}

Méthode

Pour montrer que \(A \subset E\) est ouvert, on peut:
1. Prendre un élément quelconque \(x\in A\) et chercher \(r \gt 0\) tel que \(B(x,r)\subset A\)
2. Montrer que \(A\) est une union ou intersection finie d'ouverts
3. Montrer que son complémentaire \(A^c\) est un fermé.
Pour montrer que \(A \subset E\) n'est pas ouvert, on cherche, parmi les points de \(A\text{,}\) un point \(x \in A\) spécifique tel que, quel que soit \(r \gt 0\text{,}\) \(B(x,r)\) n'est pas inclus dans \(A\text{.}\)

Autrement dit, pour tout \(r>0\text{,}\) il existe \(y \in B(x,r) \cap A^c\text{.}\)

Typiquement, \(x\) est un point du "bord".

Définition 3.3. Point adhérent et ensemble fermé.

Un point \(x \in E\) est adhérent à \(A\subset E\) s'il existe une suite \((a_n)_n\) de points de \(A\) qui converge vers \(x\text{.}\)
On dit que \(A\subset E\) est fermé dans \(E\) si \(A\) contient tous ses points adhérents, autrement dit si pour toute suite convergente \((a_n)_n \in A^\N\text{,}\) on a \(\lim a_n \in A\text{.}\)

Méthode

Pour montrer que \(A \subset E\) est fermé, on peut:
1. Montrer que son complémentaire \(A^c\) est un ouvert..
2. Montrer que, quelle que soit la suite \((x_n)_n\) telle que
  
  \begin{equation*} \forall n\in\N, x_n\in A \end{equation*}
  
  si \((x_n)_n\) est convergente, autrement dit s'il existe \(\ell\) dans \(E\) telle que \(u_n\rightarrow \ell\text{,}\) alors on a \(\ell \in A\text{.}\)
3. Montrer que \(A\) est une union finie ou une intersection de fermés.
Pour montrer que \(A \subset E\) n'est pas fermé, on cherche un exemple de suite \((x_n)_n\text{,}\) telle que pour tout \(n\text{,}\) \(x_n \in A\) et qui converge vers un \(\ell \in E\text{,}\) mais telle que \(\ell \notin A\text{.}\)

Typiquement, \(\ell\) est un point du "bord".

Définition 3.4. Intérieur et adhérence.

Si \(A\subset E\text{,}\) l'intérieur de \(A\) est défini par l'ensemble des points de \(A\) dont \(A\) est un voisinage:

\begin{equation*} \mathring{A} = \{x \in A, \exists r > 0, B(x,r) \subset A\} \end{equation*}

C'est le plus grand ouvert inclus dans \(A\text{.}\)
Si \(A\subset E\text{,}\) l'adhérence de \(A\) est défini par l'ensemble de ses points adhérents:

\begin{equation*} \overline{A} = \{x \in A, \exists (u_n)_n \in A^\N,\, u_n \rightarrow x\}. \end{equation*}

C'est le plus petit fermé contenant \(A\text{.}\)

Méthode

Pour montrer qu'un ensemble \(U\) est égal à \(\mathring{A}\text{,}\) on montre que
1. \(U\) est un ouvert inclus dans \(A\text{.}\)
  
  \(\leadsto\) Ceci donne \(\boxed{U \subset \mathring A}\text{;}\)
2. Si \(x \in A\) vérifie \(x \notin U\text{,}\) alors \(x \notin \mathring A\text{.}\)
  
  \(\leadsto\) Par contraposée, ceci donne \(\boxed{\mathring A \subset U}\text{.}\)
  
  Typiquement, on montre que pour un tel \(x\text{,}\) toute boule ouverte \(B(x,r)\) contient des points de \(A^c\text{.}\)
  
  Raccourci: Si \(A\) est ouvert, alors \(\mathring A = A\) (et réciproquement).
Pour montrer qu'un ensemble \(F\) est égal à l'adhérence de \(A\text{,}\) on montre que
1. \(F\) est un fermé contenant \(A\text{.}\)
  
  \(\leadsto\) Ceci donne \(\boxed{\overline A \subset F}\text{;}\)
2. Pour chaque élément \(x \in F\text{,}\) on peut trouver une suite \((x_n)_n\) de points de \(A\) qui tend vers \(x\text{.}\)
  
  Ceci donne \(\boxed{U \subset \overline A}\text{.}\)
  
  Raccourci: Si \(A\) est fermé, alors \(\overline A = A\) (et réciproquement).

Exercice 3.1.

On travaille dans l'espace vectoriel \(E=\R\text{,}\) muni de sa norme usuelle.

On note \(A = \{2k,k\in\N\}=\{0,2,4,6...\}\) l'ensemble des entiers positifs pairs.

(a)

Montrer que \(A\) n'est pas un voisinage de \(0\text{.}\)

\(A\) est-il un ouvert de \(\R\) ?

Spoiler.

(b)

Soit \(y \lt 0\text{.}\) Montrer qu'il existe \(r(y)>0\) tel que \(B(y,r(y))\subset \,]\,-\infty, 0\,[\,\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Déterminer \(A^c\) et montrer que \(A\) est fermé dans \(\R\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 3.2.

On travaille dans l'espace vectoriel \(E=\R\text{,}\) muni de sa norme usuelle.

On note \(B = \{2k+1,k\in\mathbb{\N}\}=\{1,3,5...\}\) l'ensemble des entiers positifs impairs.

(a)

Soit \(y \lt 1\text{.}\) Montrer qu'il existe \(r(y)>0\) tel que \(B(y,r(y))\subset \,]\,-\infty, 1\,[\,\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Déterminer \(B^c\) et montrer que \(B\) est fermé dans \(\R\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(B\) n'est pas un voisinage de \(1\text{.}\)

\(B\) est-il un ouvert de \(\R\) ?

Spoiler.

Exercice 3.3.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in \R^2, x> 0,y> 0,x+y\leq1\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

Spoiler.

(b)

\(A\) est-il un ouvert de \(\R^2\) ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(A\) est un ouvert de \(B_f(0,1)\text{.}\)

Indice.

Attention, il s'agit ici la boule unité fermée pour la norme \(\|.\|_1\) !

Spoiler.

Exercice 3.4.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_\infty\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} B=\,[\,0,1\,[\, \times \,]\,-1,1\,[ \end{equation*}

(a)

Dessiner \(B\text{.}\)

Spoiler.

(b)

\(B\) est-il un fermé de \(\R^2\) ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(B\) est un fermé de \(B(0,1)\text{.}\)

Indice.

Attention, il s'agit ici la boule unité pour la norme \(\|.\|_\infty\) !

Spoiler.

Exercice 3.5.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x\geq 0, y\geq 0, 2x + y \lt 4\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

Spoiler.

(b)

\(A\) est-il voisinage de \((0,0)\) ? En déduire que \(A\) n'est pas ouvert.

Spoiler.

(c)

\(A\) est-il fermé ?

Spoiler.

(d)

Notons

\begin{equation*} F= \{(x,y)\in\R^2, x\geq 0, y\geq 0, 2x + y \leq 4\} \end{equation*}

Justifier que \(\overline A\subset F\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 3.6.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_\infty\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2, x> 0, x^2+y^2 \leq 4\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(B\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tout \(n\in\N^*\text{,}\) \(\left(\dfrac1{n},1\right)\in B\text{.}\) En déduire que \(B\) n'est pas fermé.

Spoiler.

(c)

\(B\) est-il ouvert ?

Spoiler.

(d)

Notons

\begin{equation*} U=\{(x,y)\in\R^2, x> 0, x^2+y^2 \lt 4\} \end{equation*}

Justifier que \(U\subset \mathring{B}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 3.7.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, 0 \leq y \lt x \}\subset \R^2 \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ?

(c)

\(A\) est-il fermé ?

(d)

Montrer que \(\{(x,y)\in\R^2, 0 \lt y \lt x \}\subset \mathring A\text{.}\)

A-t-on l'égalité ? Justifier brièvement.

(e)

Montrer que \(\overline A \subset \{(x,y)\in\R^2, 0 \lt y \lt x \}\text{.}\)

A-t-on l'égalité ? Justifier brièvement.

Exercice 3.8.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x^2y^2>1\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ?

(c)

\(A\) est-il fermé ?

(d)

Déterminer l'intérieur de \(A\text{.}\)

(e)

Montrer que \(\overline A\subset \{(x,y)\in\R^2,x^2y^2\geq 1\}\text{.}\)

A-t-on l'égalité ? Justifier brièvement.

Exercice 3.9.

Dans \((\R^2,\|.\|_2)\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x^2+y^2 \leq 2 \}\setminus \{(x,y)\in\R^2, (x-1)^2+y^2 \lt 1 \} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ?

(c)

\(A\) est-il fermé ?

(d)

Ecrire \(A\) comme l'intersection de deux ensembles. En déduire \(\mathring A\text{.}\)

(e)

Déterminer \(\overline A\text{.}\)

Exercice 3.10.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x\geq 0, |x|+|y| \lt 2 \}\subset \R^2 \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Montrer que \(A\) est un fermé pour la topologie induite sur \(B(0,2)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 3.11.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_\infty\text{,}\) on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, 0 \lt x \leq 3, -3\leq y \leq 3\}\subset \R^2 \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Montrer que \(A\) est un ouvert pour la topologie induite sur \(B_f(0,3)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 3.12.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x \lt y\leq x+1 \}\subset \R^2 \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Justifier que \(\{(x,y)\in\R^2, x \lt y \lt x+1 \}\subset \mathring A\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(\overline A \subset \{(x,y)\in\R^2, x\leq y \leq x+1 \}\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Exercice 3.13.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x^2-1\leq y\lt 1-x^2 \}\subset \R^2 \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\)

(b)

\(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Montrer que \(\overline A \subset \{(x,y)\in\R^2, x^2-1\leq y\leq 1-x^2 \}\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(\{(x,y)\in\R^2, x^2-1\lt y\lt 1-x^2 \}\subset \mathring A\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Exercice 3.14.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, y \leq x, x^2+y^2\lt 4\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\) \(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Spoiler.

(b)

Montrer que \(\overline{A}\subset\{(x,y)\in\R^2,y \leq x, x^2+y^2\leq 4\}\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que l'ensemble \(E=\{(x,y)\in\R^2, y \leq x, 1\lt x^2+y^2 \lt 4\}\) est un ouvert de \(A\) pour la topologie induite.

Spoiler.

Exercice 3.15.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2, x>0, x^2+y^2\geq 1\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(B\text{.}\)\(B\) est-il ouvert ? fermé ?

Spoiler.

(b)

Montrer que \(\overline B \subset \{(x,y)\in\R^2, x\geq 0, x^2+y^2\geq 1\}\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que l'ensemble \(E=\{(x,y)\in\R^2, x^2+y^2 >1, 0\lt x\leq2,-2\leq y \leq 2\}\) est un fermé de \(B\) pour la topologie induite.

Spoiler.

Exercice 3.16.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, 2x+y\leq 3, y\lt 3\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(A\text{.}\) \(A\) est-il ouvert ? fermé ?

Spoiler.

(b)

Montrer que \(\{(x,y)\in\R^2, 2x+y\lt 3, y\lt 3\}\subset \mathring A\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que l'ensemble \(E=\{(x,y)\in\R^2, 2x+y\leq 3, -3\leq y \lt 3, -3\leq x\leq 3\}\) est un fermé de \(A\) pour la topologie induite.

Exercice 3.17.

Dans \(\R^2\) muni de l'une des normes usuelles, on considère le sous-ensemble

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2, y+2x\lt 2, x\geq 0\} \end{equation*}

(a)

Dessiner \(B\text{.}\) \(B\) est-il ouvert ? fermé ?

Spoiler.

(b)

Montrer que \(\{(x,y)\in\R^2, y+2x\lt 2, x \gt 0\}\subset \mathring B\text{.}\)

Est-ce une égalité ?

Spoiler.

(c)

Montrer que l'ensemble \(E=\{(x,y)\in\R^2, y+2x\lt 2, 0\leq x\lt 1, -1\lt y\lt 1\}\) est un ouvert de \(B\) pour la topologie induite.