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Section 7 Fonctions continues

Définition 7.1.

Soient \(E, F\) deux e.v.n., et \(x_0\in E\text{.}\)

Une fonction \(f: X \subset E \rightarrow F\) est une continue en \(x_0 \in X\) ssi, pour tout \(\varepsilon >0\text{,}\) il existe \(\delta >0\) tel que

\begin{equation*} \|x-x_0\|_E \lt \delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|_F\lt \varepsilon \end{equation*}

Autrement dit, pour tout \(\varepsilon>0\text{,}\) il existe \(\delta>0\) tel que

\begin{equation*} B_X(x_0,\delta)\subset f^{-1}(B_F(f(x_0), \varepsilon) \end{equation*}

On en déduit

Un cas particulier:

Définition 7.6. Fonctions Lipschitziennes.

Une fonction \(f: X\subset E \rightarrow F\) est lipschitzienne 3  s'il existe \(c>0\) tel que

\begin{equation*} \forall\, x,y\in X^2, \|f(x)-f(y)\|_E \leq c\|x-y\|_E. \end{equation*}

Si \(c \lt 1\text{,}\) on dit que \(f\) est contractante.

Exercice 7.1.

(a)

Soient \((E,\|.\|_E)\) et \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:E\rightarrow F\) une fonction continue.

Montrer que, pour tout \(a\in E\text{,}\) il existe \(r>0\) tel que

\begin{equation*} B(a,r)\subset f^{-1}(B(f(a),147)) \end{equation*}
Indice.

Essayer avec la caractérisation de la continuité par les images réciproques d'ouverts.

Spoiler.

Exercice 7.2.

(a)

Soient \((E,\|.\|_E)\) et \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:E\rightarrow F\) une fonction continue. Soit \(a\in E\text{.}\)

Montrer que, pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \(r_n>0\) tel que

\begin{equation*} x\in B(a,r_n) \Rightarrow f(x)\in B(f(a),\frac1{n+1}) \end{equation*}
Indice.

Essayer avec la définition de la continuité de \(f\) en \(a\text{.}\)

Exercice 7.3.

(a)

Soient \((E,\|.\|_E)\) et \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:E\rightarrow F\) une fonction continue.

Montrer que, pour tout \(A\subset E\text{,}\)

\begin{equation*} f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}. \end{equation*}
Indice.

Essayer avec la caractérisation de la continuité par les suites.

Spoiler.

Exercice 7.4.

Dans \(\R^3\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère les fonctions

\begin{equation*} f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto |x|+|y|+|z|\in\R \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y,z)\in\R^3\mapsto \sin(zx(1+y))+ \sqrt{|x|+|y|+|z|}-3\in\R \end{equation*}

(a)

Justifier que \(f\) est lipschitzienne.

Spoiler.

(b)

En déduire que \(g\) est continue.

Spoiler.

Exercice 7.5.

Dans \(\R^3\) muni de la norme \(\|.\|_\infty\text{,}\) on considère les fonctions

\begin{equation*} f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto \max(|x|,|y|,|z|)\in\R \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y,z)\in\R^3\mapsto \ln(1+f(x,y,z))-\cos(z(x+y))\in\R \end{equation*}

(a)

Justifier que \(f\) est lipschitzienne.

Spoiler.

(b)

En déduire que \(g\) est continue.

Spoiler.

Exercice 7.6.

Dans \(\R^3\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère les fonctions

\begin{equation*} f:(x,y,z)\in\R^3\mapsto \cos(2x+2y+2z)\in\R \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y,z)\in\R^3\mapsto\frac{xz}{2+f(x,y,z)}-\exp(2xy+z^2y^3)\in\R \end{equation*}

(a)

Justifier que \(f\) est lipschitzienne.

Indice.

Le théorème des accroissements finis permet de majorer \(|\cos(a)-\cos(b)|\text{,}\) pour tous réels \(a,b\text{.}\)

(b)

Vérifier que \(g\) est bien définie, puis montrer que \(g\) est continue.

Exercice 7.7.

On considère les fonctions définies sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f: (x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{2y^2 +x^3y}{x^2+y^2} \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto yf(x,y) \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) est continue en tout point de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{,}\) mais pas en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(g\) est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer l'ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2\setminus \{(0,0)\},\ x^2+y^2 = 2y^2+x^3y\} \end{equation*}

est un fermé de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.8.

On considère les fonctions définies sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f: (x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{x^4 - xy}{x^2+y^2} \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 \text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto xf(x,y) \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) est continue en tout point de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{,}\) mais pas en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(g\) est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer l'ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2\setminus \{(0,0)\},\ x^2+y^2 + xy = x^4\} \end{equation*}

est un fermé de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.9.

On considère les fonctions définies sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f: (x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{2x}{x^2+2y^2} \amp \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ \ \\ \ 0 \amp \text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto xyf(x,y) \in \R \end{equation*}

(a)

Justifier que \(f\) et \(g\) sont continues en tout point de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(f\) n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(g\) est continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

En déduire que l'ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2\setminus \{(0,0)\},\ x^2y = x^2+2y^2\} \end{equation*}

est un fermé de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.10.

On considère les fonctions définies sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f: (x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} \dfrac{x+y}{x^2+y^2} \amp \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ \ \\ \ 0 \amp \text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

et

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto y^2f(x,y) \in \R \end{equation*}

(a)

Justifier que \(f\) et \(g\) sont continues en tout point de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(f\) n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(g\) est continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

En déduire que l'ensemble

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2\setminus \{(0,0)\},\ xy^2 +y^3 = -(x^2+y^2)\} \end{equation*}

est un fermé de \(\R^2\setminus \{(0,0)\}\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.11.

(a)

Justifier que, dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_2\text{,}\) la fonction

\begin{equation*} f:(x,y)\in\R^2\mapsto \sqrt{x^2+y^2}\in\R \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire que la fonction

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto \ln(1+x^4y^2) + \cos(\sqrt{x^2+y^2}) \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que la fonction définie par

\begin{equation*} h:(x,y)\in\R^2\mapsto \begin{cases} \dfrac{xy+2y}{\sqrt{x^2+y^2}} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0) \\ \quad 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\setminus \{(0,0\}\text{,}\) mais n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.12.

(a)

Justifier que, dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) la fonction

\begin{equation*} f:(x,y)\in\R^2\mapsto |x|+|y|\in\R \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire que la fonction

\begin{equation*} g:(x,y)\in\R^2\mapsto \sqrt{x^2y^2}+ \exp(|x|+|y|) \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que la fonction définie par

\begin{equation*} h:(x,y)\in\R^2\mapsto \begin{cases} \dfrac{x^2+3y}{|x|+|y|} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0) \\ \quad 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

est continue sur \(\R^2\setminus \{(0,0\}\text{,}\) mais n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.13.

On considère l'ensemble suivant dans \(\R^2\text{:}\)

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, x^2+2y^2\lt 1\} \end{equation*}

et on note \(g\) la fonction indicatrice de \(A\text{:}\)

\begin{equation*} g = 1_A \:(x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } (x,y)\in A\\ 0 \text{ si } (x,y)\notin A \end{cases} \end{equation*}

(b)

Montrer que \(A\) est un ouvert.

Indice.

On peut utiliser une fonction continue.

Spoiler.

(c)

Calculer \(g^{-1}([1,2])\text{.}\) En déduire que \(g\) n'est pas continue en tout point de \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Montrer que \(g\) est continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.14.

On considère l'ensemble suivant dans \(\R^2\text{:}\)

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2, x+3y^2 \geq 2\} \end{equation*}

et on note \(g\) la fonction indicatrice de \(B\text{:}\)

\begin{equation*} h = \ind_B \:(x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } (x,y)\in B\\ 0 \text{ si } (x,y)\notin B \end{cases} \end{equation*}

(b)

Montrer que \(B\) est un fermé.

Indice.

On peut utiliser une fonction continue.

Spoiler.

(c)

Calculer \(h^{-1}(\,\,]0, 2 \,[\,)\text{.}\) En déduire que \(h\) n'est pas continue en tout point de \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Montrer que \(h\) est continue en \((-3,0)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 7.15.

On considère l'ensemble suivant dans \(\R^2\text{:}\)

\begin{equation*} C=\{(x,y)\in\R^2, x^2y^2 = 1\} \end{equation*}

et on note \(g\) la fonction indicatrice de \(C\text{:}\)

\begin{equation*} g = \ind_C \:(x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } (x,y)\in C\\ 0 \text{ si } (x,y)\notin C \end{cases} \end{equation*}

(b)

Montrer que \(C\) est un fermé.

Indice.

On peut utiliser une fonction continue.

(c)

Calculer \(g^{-1}(\R^*)\text{.}\) En déduire que \(g\) n'est pas continue en tout point de \(\R^2\text{.}\)

(d)

Montrer que \(g\) est continue en \((0,0)\text{.}\)

Exercice 7.16.

On considère l'ensemble suivant dans \(\R^2\text{:}\)

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, y>x^2\} \end{equation*}

et on note \(g\) la fonction indicatrice de \(A\text{:}\)

\begin{equation*} g = \ind_A \ :(x,y)\in\R^2 \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } (x,y)\in A\\ 0 \text{ si } (x,y)\notin A \end{cases} \end{equation*}

(b)

Montrer que \(A\) est un ouvert.

Indice.

On peut utiliser une fonction continue.

(c)

Calculer \(g^{-1}([1,2])\text{.}\) La fonction \(g\) est-elle continue en tout point de \(\R^2\) ?

(d)

Montrer que \(g\) n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

pour la topologie induite sur \(X\)
pour la topologie induite sur \(X\)
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