Section 4 Complétude
Définition 4.2. Suites de Cauchy.
Soit \((E,\|.\|)\) un e.v.n. Une suite \((x_k)_{k\in \N}\) de \(E\) est une suite de Cauchy si
Proposition 4.3. Quelques propriétés.
Si \((x_k)_k\) et \((y_k)_k\) sont deux suites de Cauchy, alors \((x_k+ y_k)_k\) est de Cauchy.
Si \((x_k)_k\) est de Cauchy et \(\lambda\in\R\text{,}\) alors \((\lambda x_k)_k\) est de Cauchy.
Si \((x_k)_k\) est convergente, alors elle est de Cauchy.
-
Si \((x_k)_k\) est de Cauchy, alors \((x_k)_k\) est bornée:
\begin{equation*} \exists c>0 \text{ t.q. } \forall k,\|x_k\| \leq c \end{equation*} -
Si \((x_k)_k\) est de Cauchy, et s'il existe \(\alpha:\N \rightarrow \N\) strictement croissante telle que \((x_{\alpha(k)})_k\) converge vers \(x\in E\text{,}\) alors \((x_k)_k\) converge vers \(x\text{.}\)
Autrement dit, si une suite de Cauchy a une valeur d'adhérence, elle converge vers cette valeur d'adhérence.
⚠ Attention à ne pas confondre cette dernière propriété avec la suivante, qui est vraie pour toutes les suites:
Si \((x_k)_k\) converge vers \(x\) alors toute sous-suite \((x_{\alpha(k)})_k\) converge vers \(x\in E\text{.}\)
Si \(\|.\|\) et \(\|.\|'\) sont deux normes équivalentes sur \(E\text{,}\) alors \((x_k)_k\) est de Cauchy dans \((E,\|.\|)\) ssi \((x_k)_k\) est de Cauchy dans \((E,\|.\|')\text{.}\)
Une suite \((x_k=(x_{1,k},\ldots,x_{n,k}))_k\) de \(\R^n\) est de Cauchy 1 si et seulement si, pour tout \(i\in \{1,\ldots n\}\text{,}\) \((x_{i,k})_k\) est de Cauchy dans \(\R\text{.}\)
Définition 4.4. Complets:.
On dit que \(A\subset E\) est complet si, pour toute suite de Cauchy \((x_k)_{k\in \N}\) de \(A\text{,}\) il existe \(x \in A\) tel que \(x_k \xrightarrow{}[k \rightarrow \infty]x\text{.}\)
Autrement dit, \(A\) est complet si toute suite de Cauchy de points de \(A\) converge dans \(A\text{.}\)
Propriétés
Si \(A\) est complet, alors \(A\) est un fermé de \(E\text{.}\)
Si \(A\) est complet et si \(F\subset A\) est fermé, alors \(F\) est complet.
Si \(\|.\|\) et \(\|.\|'\) sont deux normes équivalentes sur \(E\text{,}\) alors \(A\subset E\) est un complet de \((E,\|.\|)\) ssi \(A\) est un complet de \((E,\|.\|')\text{.}\)
Cas particuliers importants:
\((\R, |.|)\) est complet.
\(\R^n\) est complet 2 .
Si \(E\) est de dimension finie, \((E,\|.\|)\) est complet.
Méthode
-
Pour montrer que \(A\subset E\) est complet, on peut:
Utiliser la définition: on prend une suite de Cauchy quelconque \((x_k)_k\) à valeurs dans \(A\text{,}\) et on montre que \((x_k)_k\) converge.
On montre que \(A\) est un fermé inclus dans un complet (ce qui marche notamment si \(E\) est complet)
-
Pour montrer que \(A\subset E\) n'est pas complet, on peut:
Trouver une suite de Cauchy de \(A\) qui ne converge pas dans \(A\)
Montrer que \(A\) n'est pas un fermé.
Exercice 4.1.
(a)
Soient \((E_1, N_1), (E_2, N_2)\) deux espaces vectoriels normés.
Choisir une norme produit sur \(E_1\times E_2\text{.}\)
(b)
Soit \((u_n=(u_{1,n},u_{2,n}))\in (E_1 \times E_2)^\N\) une suite de \(E_1 \times E_2\text{.}\)
Montrer que \((u_n)_n\) est de Cauchy dans \(E_1\times E_2\) ssi (\((u_{1,n})_n\) est de Cauchy dans \((E_1,N_1)\) et \((u_{2,n})_n\) est de Cauchy dans \((E_2,N_2)\text{.}\))
Exercice 4.2.
Pour \(P=\sum_{k\geq 0} a_k X^k \in \R[X]\text{,}\) on définit
On admet que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur l'espace vectoriel \(\R[X]\text{.}\)
On définit une suite \((P_n)_n\in (\R[X])^\N\) par
(a)
Déterminer \(C>0\) tel que, pour tout \(P\in\R[X]\text{,}\) \(N_1(P)\leq C N_2(P)\text{.}\)
(b)
Montrer que, pour tous \(n,q\in\N^*\text{,}\) \(N_1(P_{n+q}-P_n)\leq \dfrac 1{2^n}\text{.}\)
(c)
Calculer \(N_2(P_{n+q}-P_n)\) pour \(n,q\in\N^*\text{.}\)
(d)
Que peut-on en déduire sur la suite \((P_n)_n\) ?
