Compacité

Section 6 Compacité

Figure 6.1. Source: https://mathstrek.blog/2013/02/24/topology-sequentially-compact-spaces-and-compact-spaces/¹

Définition 6.2. Compacts.

On dit qu'une partie \(A \subset E\) est un compact si, de toute suite de \(A\text{,}\) on peut extraire une sous-suite qui converge dans \(A\text{.}\)

Autrement dit :

\begin{align*} \forall(x_k)_k\amp \in A^\N,\ \exists \alpha:\N\rightarrow\N \text{ str. croissante}, \\ \amp\exists x \in A \text{ t.q } \|x_{\alpha(k)}-x\|\rightarrow0. \end{align*}

Proposition 6.3. Quelques propriétés:.

Si \(A\) est compact, alors \(A\) est fermé et borné.
Si \(A\) est fermé borné et si \(E\) est de dimension finie, alors \(A\) est compact.
Si \(A\) est compact, alors \(A\) est complet.
Une union finie de compacts est compacte:

Si \((K_i)_{i=1,\ldots,p}\) sont des compacts, alors \(K=\cup_{i=1}^p K_i\) est compact.
Un produit fini de compacts est compact:

Soient \((E_i,\|.\|_{E_i}\text{,}\) \(i=1,\ldots,n\) des e.v.n., et pour chaque \(i\text{,}\) \(K_i\subset (E_i,\|.\|_{E_i}\) un compact.

Alors \(K=K_1\times\ldots\times K_n\) est un compact de \(E=E_1\times\ldots\times E_n\text{.}\)

On a une caractérisation alternative des compacts:

Théorème 6.4. Heine-Borel-Lebesgue.

\(A\) est un compact de \(E\) ssi, de tout recouvrement ouvert de \(A\text{,}\) on peut extraire un sous-recouvrement fini:

\begin{gather*} \forall(G_i)_{i\in I}\text{ t.q. } (\forall i\in I, G_i\subset E \text{ ouvert et } K\subset \cup_{i\in I} G_i)\\ \exists \{i_1,\ldots,i_p\} \subset I \text{ t.q. } K\subset \cup_{k=1}^pG_{i_k} \end{gather*}

La propriété de Heine-Borel-Lebesgue équivaut à la suivante:

Théorème 6.5. Propriété des intersections finies.

\(A\) est un compact de \(E\) ssi

\begin{gather*} \forall(F_i)_{i\in I}\text{ t.q. } (\forall i\in I, F_i\subset E \text{ fermé et } K\cap(\cap_{i\in I} F_i)=\emptyset\\ \exists \{i_1,\ldots,i_p\} \subset I \text{ t.q. } K\cap(\cap_{k=1}^pF_{i_k})=\emptyset \end{gather*}

Méthode

Pour montrer que \(A\subset E\) est compact, on peut:
1. Utiliser la définition: on prend une suite quelconque \((x_k)_k\) à valeurs dans \(A\text{,}\) et on construit une sous-suite \((x_{\alpha(k)})_k\) convergente dans \(A\text{.}\)
2. Si \(E\) est de dimension finie, on montre que \(A\) est un fermé borné.
3. On montre que \(A\) est une intersection finie ou un produit fini de compacts connus.
Pour montrer que \(A\subset E\) n'est pas compact, on peut
1. Construire une suite de \(A\) dont aucune sous-suite ne converge (par exemple, parce qu'elle part à l'infini)
2. Montrer que \(A\) n'est pas borné.
3. Montrer que \(A\) n'est pas un fermé.

Exercice 6.1.

(a)

Soient \((E,\|.\|_E)\) et \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:E\rightarrow F\) une fonction continue. Soit \(K\subset E\) un compact.

Justifier qu'il existe \(R>0\) tel que \(f(K)\subset B(0,R)\text{.}\)

Exercice 6.2.

On note \(B_f(0,1)\) la boule unité fermée dans \(\R^n\) et \(f:B_f(0,1)\rightarrow \R\) une fonction continue.

(a)

Justifier que \(B_f(0,1)\) est compacte.

(b)

Justifier que \(f\) est majorée.