Equivalence de normes

Section 2 Equivalence de normes

Définition 2.2. Normes équivalentes.

On dit que 2 normes \(N_1, N_2\) sur \(E\) sont équivalentes s'il existe deux constantes positives \(C_1, C_2 \gt 0\) telles que

\begin{equation*} \forall x \in E, \begin{cases} N_1( x) \leq C_1 N_2( x) \\ N_2( x) \leq C_2 N_1( x) \end{cases} \end{equation*}

ce qui trevient à dire qu'il existe \(c,C \gt 0\) tels que, pour tout \(x\in E\text{,}\)

\begin{equation*} c N_1(x)\leq N_2(x) \leq C N_1(x) \end{equation*}

Méthode

Pour montrer que deux normes \(N_1, N_2\) sur \(E\) sont équivalentes, on peut:
1. Revenir à la définition et chercher des constantes \(c, C >0\) telles que
  
  \begin{equation*} \forall x \in E,\ c N_1(x) \leq N_2 (x) \leq C N_1(x) \end{equation*}
2. Montrer que toute boule ouverte pour \(N_1\) contient une boule ouverte pour \(N_2\text{,}\) et réciproquement.
3. Montrer que toute suite qui converge pour \(N_1\) converge aussi pour \(N_2\text{,}\) et réciproquement.
Pour montrer que deux normes \(N_1, N_2\) sur \(E\) ne sont pas équivalentes, on peut:
1. Raisonner par l'absurde: on suppose qu'il existe deux constantes \(c, C >0\) telles que
  
  \begin{equation*} \forall x \in E,\ c N_1(x) \leq N_2 (x) \leq C N_1(x) \end{equation*}
  
  et on cherche \(x \in E\) tel que, par exemple, \(N_1(x) = 1\) et \(N_2(x) > C\text{.}\)
2. Chercher une suite \((x_n)_n\) de \(E^\N\) telle que
  
  \begin{equation*} \frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)} \rightarrow 0 \text { ou } \frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)} \rightarrow \infty \end{equation*}

Exercice 2.1.

(a)

Soient \(N_1, N_2\) deux normes équivalentes sur un espace vectoriel \(E\text{.}\)

Montrer que \((E,N_1)\) est complet ssi \((E,N_2)\) est complet.

Spoiler.

Exercice 2.2.

Pour \(f \in \mathcal C^0([0,1])\text{,}\) on définit

\begin{equation*} N_\infty(f)=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, N_2(f)= \sqrt{\int_{0}^1|f(t)|^2 dt} \end{equation*}

On admet que \(N_\infty\) et \(N_2\) sont des normes sur l'espace vectoriel \(E=\mathcal C^0([0,1])\text{.}\)

Pour \(n\in\N\text{,}\) on pose \(f_n: x \in[0,1] \mapsto x^n \in\R\text{.}\)

(a)

Déterminer \(C>0\) tel que, pour tout \(f \in \mathcal C^0([0,1])\text{,}\) \(N_2(f)\leq C N_\infty(f)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire que si une suite \((\varphi_n)_n\) converge vers \(\varphi\) dans \((E,N_2)\text{,}\) alors la seule limite possible de \((\varphi_n)\) dans \((E,N_\infty)\) est \(\varphi\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Etudier la convergence de la suite \((f_n)_n\) dans \((E,N_2)\text{,}\) puis dans \((E,N_\infty)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Les normes \(N_\infty\) et \(N_2\) sont-elles équivalentes ?

Spoiler.

Exercice 2.3.

Pour \(f \in \mathcal C^1([0,1])\text{,}\) on définit

\begin{equation*} N_1(f)=|f(0)|+\sup_{x\in [0,1]}|f'(x)|, N_2(P)=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)| \end{equation*}

On admet que \(N_1\) et \(N_2\) sont des normes sur l'espace vectoriel \(E=\mathcal C^1([0,1])\text{.}\)

Pour \(n\in\N^*\text{,}\) on pose \(f_n: x \in[0,1] \mapsto \frac{x^n}{\sqrt n} \in\R\text{.}\)

(a)

Déterminer \(C>0\) tel que, pour tout \(f \in E\text{,}\) \(N_2(f)\leq C N_1(f)\text{.}\)

Indice.

Le théorème fondamental de l'analyse permet, pour toute fonction \(\varphi \in \mathcal C^1(I)\) et pour tout \(a\in I\text{,}\) d'exprimer \(\varphi(x)\) en fonction de \(\varphi(a)\) et de \(\varphi'\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Etudier la convergence de la suite \((f_n)_n\) dans \((E,N_1)\text{,}\) puis dans \((E,N_2)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Les normes \(N_1\) et \(N_2\) sont-elles équivalentes ?

Spoiler.

Exercice 2.4.

Pour \(\alpha>1\) et \(P=\sum_{k\geq 0} a_k X^k \in E\text{,}\) on définit

\begin{equation*} N_\alpha (P)=\sum_{k\geq 0} \frac{|a_k|}{\alpha^k} \end{equation*}

On admet que, pour tout \(\alpha > 1\text{,}\) \(N_\alpha\) est une norme sur l'espace vectoriel \(E=\R[X]\text{.}\)

Pour \(\beta>0\text{,}\) on définit une suite \((P_{n,\beta})_n\in E^\N\) par

\begin{equation*} P_{n,\beta}(X)=1+\beta X+...+(\beta X)^n = \sum_{k=0}^n (\beta X)^k \end{equation*}

(a)

Montrer que si \(\alpha_1 \geq \alpha_2 >1\text{,}\) pour tout \(P\in E\text{,}\) \(N_{\alpha_1}(P)\leq N_{\alpha_2}(P)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que la suite \((P_{n,\beta})_n\) est bornée dans \((E,N_\alpha)\) ssi \(\beta \lt \alpha\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Soient \(\alpha_1 \neq \alpha_2\text{.}\) Montrer que les normes \(N_{\alpha_1}\) et \(N_{\alpha_2}\) ne sont pas équivalentes.

Spoiler.

Exercice 2.5.

Pour \(f \in \mathcal C^0([0,1])\text{,}\) on définit

\begin{equation*} N_\infty(f)=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, N_1(f)= \int_{0}^1|f(t)| dt \end{equation*}

On admet que \(N_1\) et \(N_\infty\) sont des normes sur l'espace vectoriel \(E=\mathcal C^1([0,1])\text{.}\)

Pour \(n\in\N\text{,}\) on pose

\begin{equation*} f_n: x \in[0,1] \mapsto (\sqrt{n+1})x^n \in\R. \end{equation*}

(a)

Déterminer une constante \(C>0\) telle que, pour tout \(f \in E\text{,}\) \(N_1(f)\leq C N_\infty(f)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(N_1(f_n)\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(N_\infty(f_n)\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} +\infty\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Les normes \(N_\infty\) et \(N_1\) sont-elles équivalentes ?

Spoiler.

Exercice 2.6.

Pour \(f \in \mathcal C^0([0,1])\text{,}\) on définit

\begin{equation*} N_\infty(f)=\sup_{x\in [0,1]} |f(x)|, N_2(f)= \sqrt{\int_{0}^1|f(t)|^2 dt} \end{equation*}

On admet que \(N_\infty\) et \(N_2\) sont des normes sur l'espace vectoriel \(E=\mathcal C^1([0,1])\text{.}\)

Pour \(n\in\N\text{,}\) on pose

\begin{equation*} f_n: x \in[0,1] \mapsto x^n \in\R. \end{equation*}

(a)

Déterminer une constante \(C>0\) telle que, pour tout \(f \in E\text{,}\) \(N_2(f)\leq C N_\infty(f)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(N_2(f_n)\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 0\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(N_\infty(f_n)\xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} 1\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Les normes \(N_\infty\) et \(N_2\) sont-elles équivalentes ?

Spoiler.