Skip to main content

Section 9 Différentielle, dérivées directionnelles, dérivées partielles

Figure 9.1.

Une fonction \(\R^2\rightarrow\R\) admettant des dérivées partielles, mais pas différentiable en \((0,0)\text{.}\) Voir ici 1 .

Pour une fonction à plusieurs variables, ou plus généralement définie sur un e.v.n. \(E\neq \R\text{,}\) on ne peut pas calculer de taux d'accroissement:

\begin{equation*} \frac{f(a+h)-f(a)}h \end{equation*}

n'existe pas si \(h\in E\neq \R\) : on ne peut pas diviser par un vecteur !

On ne peut donc pas définir la dérivée d'une fonction à plusieurs variables.

A la place, on introduit plusieurs généralisations:

Définition 9.2. Différentiabilité en un point.

Soit \(E, F\) deux e.v.n, \(U \subset E\) un ouvert.

Une application \(f: U \rightarrow F\) est différentiable en \(a \in U\) s'il existe une application linéaire continue \(L \in \mathcal{L}(E,F)\) telle que, pour tout \(h\in E\) tel que \(a+h \in U\text{,}\)

\begin{equation*} f(a+h)=f(a)+L(h)+\|h\|\varepsilon(h) \end{equation*}

avec

\begin{equation*} \varepsilon(h)\xrightarrow[h\rightarrow 0]{}0 \end{equation*}

on note alors \(L=Df(a) \in \mathcal L(E,F)\text{.}\)

Remarque 9.3. Lien avec la dérivée.

Si \(f:I \subset \R \rightarrow F\) est une fonction d'une variable réelle, alors elle est dérivable ssi

\begin{equation*} \frac1h (f(a+h)-f(a)) \end{equation*}

 2  a une limite \(f'(a) \in F\) quand \(h\rightarrow 0\text{.}\)

Alors \(f\) est dérivable ssi \(f\) est différentiable, et

\begin{equation*} Df(a)(h) = f'(a)h. \end{equation*}

Définition 9.4. Dérivée directionnelle.

Soit \(f: U \rightarrow F\text{,}\) \(a \in U\text{,}\) \(v\in E\text{.}\)

Alors \(f\) admet une dérivée dirctionnelle en \(a\) dans la direction de \(v\) si

\begin{equation*} \frac1t(f(a+tv)-f(a)) \end{equation*}

a une limite dans \(F\) quand \(t\rightarrow 0\text{.}\)

Dans ce cas, on note la limite \(\vec{D}f(a,v)\text{.}\)

Figure 9.5.

La dérivée directionnelle au point rouge dans la direction du vecteur vert fluo est égale à la pente du petit vecteur vert foncé en dessous. Voir ici 3  pour bouger le point rouge!

Définition 9.6. Dérivées partielles.

Lorsque \(E=\R^n\text{,}\) on peut noter \((e_1,\dots,e_n)\) la base canonique.

On appelle i-ème dérivée partielle la dérivée directionnelle dans la direction de \(e_i\)  4 . Autrement dit,

\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) =\lim_{t\rightarrow0} \frac 1t(f(a_1, \dots, a_i+t,\dots a_n)-f(a)) \in F. \end{equation*}

C'est donc la dérivée de \(x\mapsto f(a_1,\dots,a_{i-1},x,\dots,a_n)\) en \(a_i\text{,}\) c'est-à-dire la dérivée de \(f\) ``par rapport à \(x_i\)''.

Figure 9.7.

Source: https://mathinsight.org/partial_derivative_limit_definition 5 

Définition 9.8. Matrice jacobienne.

Dans le cas \(E=\R^n\text{,}\) \(F=\R^p\text{,}\) notons \((e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(E\text{.}\) On considère \(f:U\subset \R^n \rightarrow\R^p\text{,}\) notée:

\begin{equation*} f: x=(x_1,\dots,x_n) \in U \mapsto (f_1(x)\dots,f_p(x)) \in \R^p \end{equation*}

Si \(f\) est différentiable en \(a\text{,}\) alors \(Df(a) \in \mathcal{L}(\R^n, \R^p)\) admet une matrice dans la base canonique dont la \(i\)-ème colonne est donnée par

\begin{equation*} Df(a)(e_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = ( \frac{\partial f_1}{\partial x_i}(a),\dots, \frac{\partial f_p}{\partial x_i}(a)). \end{equation*}

On l'appelle matrice jacobienne de \(f\) en \(a\text{:}\)

\begin{equation*} \text{Jac}_f(a) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)\amp\dots\amp \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\ \vdots\amp\amp\vdots\\ \frac{\partial f_p}{\partial x_1}(a)\amp\dots\amp \frac{\partial f_p}{\partial x_n}(a) \end{pmatrix} \in \mathcal M_{p,n}(\R) \end{equation*}

Exercice 9.1.

Soient \((E,\|.\|_E)\) et \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:U\subset E\rightarrow F\) une fonction différentiable définie sur un ouvert \(U\subset E\text{.}\)

Soient \(a\in U, v\in E\text{.}\)

(a)

A quel ensemble appartient la dérivée directionnelle de \(f\) en \(a\) dans la direction de \(v\) ?

(b)

Exprimer la dérivée directionnelle de \(f\) en \(a\) dans la direction de \(v\) en fonction de la différentielle de \(f\text{.}\)

Exercice 9.2.

Soit \((F,\|.\|_F)\) deux e.v.n., et \(f:U\subset \R^n\rightarrow F\) une fonction différentiable définie sur un ouvert \(U\subset \R^n\text{.}\)

Soit \(a\in U\text{.}\)

(a)

A quel ensemble appartient \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}(a)\) ?

(b)

Exprimer la différentielle de \(f\) en \(a\) en fonction des dérivées partielles de \(f\text{.}\)

Exercice 9.3.

On considère la fonction définie sur \((\R^3,\|.\|_1)\) par

\begin{equation*} f(x,y,z)=xyz \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) est différentiable en \(a_0 = (-1,1,1)\) et calculer sa différentielle en \(a_0\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Calculer les dérivées partielles de \(f\) en \(a_0=(-1,1,1)\) et retrouver l'expression de \(Df((-1,1,1))\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Soit \(a_0 = (x_0,y_0,z_0)\in\R^3\text{.}\) Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(a_0\) dans la direction de \(v=(0,1,2)\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 9.4.

On considère la fonction définie sur \((\R^3,\|.\|_\infty)\) par

\begin{equation*} f(x,y,z)=2xy+y^2z \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) est différentiable en \(a_0 = (1,1,1)\) et calculer sa différentielle en \(a_0\text{.}\)

(b)

Calculer les dérivées partielles de \(f\) en \(a_0=(1,1,1)\) et retrouver l'expression de \(Df((1,1,1))\text{.}\)

(c)

Soit \(a_0 = (x_0,y_0,z_0)\in\R^3\text{.}\) Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(a_0\) dans la direction de \(v=(1,0,2)\) et la calculer..

Exercice 9.5.

On considère la fonction définie sur \((\R^3,\|.\|_\infty)\) par

\begin{equation*} f(x,y,z)=xy+4yz^2 \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) est différentiable en \(a_0 = (1,1,1)\) et calculer sa différentielle en \(a_0\text{.}\)

(b)

Calculer les dérivées partielles de \(f\) en \(a_0=(1,1,1)\) et retrouver l'expression de \(Df((1,1,1))\text{.}\)

(c)

Soit \(a_0 = (x_0,y_0,z_0)\in\R^3\text{.}\) Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(a_0\) dans la direction de \(v=(-1,0,1)\) et la calculer..

Exercice 9.6.

On considère l'application définie sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que, pour tout \(v\in \R^2\text{,}\) \(f\) admet une dérivée directionnelle en \((0,0)\) dans la direction de \(v\text{.}\)

Spoiler.

(b)

En déduire les dérivées partielles de \(f\) en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(f\) n'est pas continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

\(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\) ?

Spoiler.

Exercice 9.7.

Soit \(\alpha>0\text{.}\) On considère l'application définie sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{|xy|^\alpha}{\sqrt{x^2+y^2}} \amp\text{ si } (x,y)\neq(0,0)\\ 0 \amp\text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que si \(\alpha>\frac12\text{,}\) \(f\) est continue en \((0,0)\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que si \(\alpha\geq 1\text{,}\) \(f\) admet une dérivée directionnelle en \((0,0)\) dans la direction de \((1,1)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

\(f\) est-elle différentiable en \((0,0)\) si \(\alpha\leq 1\text{?}\)

Spoiler.

Exercice 9.8.

On considère la fonction définie sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ \ \\ 0 \text{ si } (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\) et les calculer.

En déduire l'expression de \(Df(0,0)(h)\) pour \(h\in\R^2\text{,}\) si \(Df(0,0)\) existe.

Spoiler.

(b)

\(f\) admet-elle une dérivée directionnelle en \((0,0)\) dans la direction de \((1,1)\) ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(Df(0,0)\) n'existe pas.

Spoiler.

Exercice 9.9.

On considère la fonction définie sur \(\R^2\) par

\begin{equation*} f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3x^2y}{x^2+y^2} \text{ si } (x,y)\neq (0,0)\\ \ \\ 0\text{ si } (x,y)= (0,0) \end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(f\) admet des dérivées partielles en \((0,0)\) et les calculer.

En déduire l'expression de \(Df(0,0)(h)\) pour \(h\in\R^2\text{,}\) si \(Df(0,0)\) existe.

Spoiler.

(b)

\(f\) admet-elle une dérivée directionnelle en \((0,0)\) dans la direction de \((1,1)\) ?

Spoiler.

(c)

Montrer que \(Df(0,0)\) n'existe pas.

Spoiler.

Exercice 9.10.

On munit \(E=\R_2[X]\) de la norme

\begin{equation*} \forall P(X)=a_0+a_1X+a_2 X^2 \in E,\|P\|=\max_{k=0,1,2} |a_k| \end{equation*}

et on s'intéresse à l'application

\begin{equation*} f:P\in E \mapsto P(0)P'(1) \in \R \end{equation*}

(a)

Pour \(P(X)=a_0+a_1X+a_2 X^2\in E\text{,}\) exprimer \(f(P)\) en fonction des coefficients de \(P\text{.}\)

(b)

Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(P(X)=X+1\) dans la direction de \(H(X)=X^2\) et la calculer.

(c)

Soit \(P_0\in E\text{.}\) Montrer que \(f\) est différentiable en \(P_0\) et donner, pour tout \(H\in E\text{,}\) \(Df(P_0)(H)\text{.}\)

Exercice 9.11.

On munit \(E=\R_2[X]\) de la norme

\begin{equation*} \forall P(X)=a_0+a_1X+a_2 X^2 \in E,\|P\|=\sum_{k=0}^2 |a_k| \end{equation*}

et on s'intéresse à l'application linéaire

\begin{equation*} f:P\in E \mapsto P(0)+P'(2) \end{equation*}

(a)

Justifier rapidement que \(f\) est continue, puis le montrer par le calcul.

Spoiler.

(b)

Calculer la norme d'application linéaire de \(f\text{.}\)

Indice.

Que donne \(f(X^2)\) ?

Spoiler.

(c)

Soit \(P_0\in E\text{.}\) Montrer que \(f\) est différentiable en \(P_0\) et donner, pour tout \(Q\in E\text{,}\) \(Df(P_0)(Q)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(P(X)=X+1\) dans la direction de \(H(X)=X^2\) et la calculer.

Spoiler.

Exercice 9.12.

On munit \(E=\R_2[X]\) de la norme

\begin{equation*} \forall P(X)=a_0+a_1X+a_2 X^2 \in E,\|P\|=\max_{k=0,1,2} |a_k| \end{equation*}

et on s'intéresse à l'application linéaire

\begin{equation*} f:P\in E \mapsto P(1)+2P''(0)\in \R \end{equation*}

(a)

Justifier rapidement que \(f\) est continue, puis le montrer par le calcul.

Spoiler.

(b)

Calculer la norme d'application linéaire de \(f\text{.}\)

Indice.

Que donne \(f(1+X+X^2)\) ?

Spoiler.

(c)

Soit \(P_0\in E\text{.}\) Montrer que \(f\) est différentiable en \(P_0\) et donner, pour tout \(Q\in E\text{,}\) \(Df(P_0)(Q)\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Montrer que \(f\) admet une dérivée directionnelle en \(P(X)=X^2 + 3\) dans la direction de \(H(X)=2X\) et la calculer.

Spoiler.
mathinsight.org/differentiability_multivariable_subtleties
qui existe, puisque \(h\in E=\R\) !
mathinsight.org/applet/directional_derivative_mountain
si elle existe !