Théorème du point fixe

Section 5 Théorème du point fixe

Figure 5.1. La suite \((x_n)_n\text{,}\) définie par \(x_{n+1}=g(x_n)\text{,}\) converge vers le point fixe de \(g\)

Théorème 5.2. Théorème du point fixe de Picard-Banach.

Soit \((E,\|.\|)\) un espace vectoriel normé complet et \(F\subset E\) un fermé.

Soit \(f:F\rightarrow F\) une application contractante, autrement dit telle que

\begin{equation*} \exists\, k\in ]0,1[,\,\forall\,x,y\in F, \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|. \end{equation*}

Alors \(f\) admet un unique point fixe \(\overline x \in F\text{.}\)

De plus, pour tout \(x_0\in F\text{,}\) la suite définie à partir de \(x_0\) par \(x_{n+1}=f(x_n)\) converge vers \(\overline x\text{,}\) avec

\begin{equation*} \|x_n-\overline x\|\leq \frac{k^n}{1-k}\|x_1-x_0\| \end{equation*}

On rappelle que, par le théorème des accroissements finis, si \(\varphi\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\text{,}\) dérivable à l'intérieur de \(I\text{,}\) alors

\begin{equation*} (\forall x \in \mathring I, |\varphi'(x)|\leq k)\iff (\forall x_1,x_2\in I, |\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|\leq k |x_1-x_2|) \end{equation*}

Exercice 5.1.

On considère la fonction définie sur \(\R\) par

\begin{equation*} g(x)=\dfrac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{3}} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(g([0,1])\subset[0,1]\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que, pour tous \(x_1,x_2\in[0,1]\text{,}\) \(|g(x_1)-g(x_2)|\leq \dfrac12|x_1-x_2|\text{.}\)

Spoiler.

(c)

En déduire que l'équation \(3x^2-\exp(x)=0\) a une unique solution sur \([0,1]\) et que la suite définie par

\begin{equation*} x_0=0, x_{n+1}=\sqrt{\dfrac{\exp(x_n)}{3}} \end{equation*}

converge vers cette solution.

Spoiler.

Exercice 5.2.

On considère la fonction définie sur \(\R\) par

\begin{equation*} g(x)=\dfrac{2-e^x+x^2}{3} \end{equation*}

(a)

Montrer, pour tous \(x_1,x_2\in[0,1]\text{,}\) \(|g(x_1)-g(x_2)|\leq \dfrac{e}{3}|x_1-x_2|\text{.}\)

Indice.

Pour tout réel \(x\text{,}\) \(exp(x)\geq2x\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(g\) est décroissante. En déduire que \(g([0,1])\subset[0,1]\text{.}\)

Spoiler.

(c)

En déduire que l'équation \(x^2-3x+2=\exp(x)\) a une unique solution sur \([0,1]\) et que la suite définie par

\begin{equation*} x_0=0, x_{n+1}=\dfrac{2-\exp(x_n)+x_n^2}{3} \end{equation*}

converge vers cette solution.

Spoiler.

Exercice 5.3.

On considère les fonctions définies sur \(\R\) par

\begin{equation*} f(x)=\dfrac15\cos(2x), \quad g(x)=x+f(x) \end{equation*}

(a)

Montrer que, pour tout \(a\in\R\text{,}\) la fonction \(x\mapsto f(x)-a\) est contractante sur \(\R\text{.}\)

(b)

En déduire que, pour tout \(a\in \R\text{,}\) l'équation \(x+f(x)=a\) admet une unique solution dans \(\R\text{.}\)

(c)

Montrer que la fonction \(g\) est bijective.

Exercice 5.4.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère l'ensemble

\begin{equation*} A=\{(x,y)\in\R^2, y=\sin(x)\} \end{equation*}

et la fonction

\begin{equation*} f:(x,y)\in\R^2 \mapsto \left(\frac{x-y}4,\sin\frac{x-y}4\right) \end{equation*}

(a)

Montrer que \(A\) est fermé dans \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(f\) est \(\dfrac12\)-lipschitzienne.

Indice.

Le théorème des accroissements finis permet de majorer \(|\sin(a)-\sin(b)|\text{,}\) pour tous réels \(a,b\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(f\) admet un unique point fixe sur \(A\text{.}\)

Spoiler.

Exercice 5.5.

Dans \(\R^2\) muni de la norme \(\|.\|_1\text{,}\) on considère l'ensemble

\begin{equation*} B=\{(x,y)\in\R^2, y=\cos(x)\} \end{equation*}

et la fonction

\begin{equation*} f:(x,y)\in\R^2 \mapsto \left(\frac{x+y}8,\cos\frac{x+y}8\right) \end{equation*}

(a)

Montrer que \(B\) est fermé dans \(\R^2\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer que \(f\) est \(\dfrac14\)-lipschitzienne.

Indice.

Le théorème des accroissements finis permet de majorer \(|\cos(a)-\cos(b)|\text{,}\) pour tous réels \(a,b\text{.}\)

Spoiler.

(c)

Montrer que \(f\) admet un unique point fixe sur \(B\text{.}\)

Spoiler.