Chapter 1 Grandeur et décadence de l'intégrale de Riemann
En physique, on croise souvent des lois qui expriment une quantité intéressante comme le produit de deux autres, par exemple \(d=v\cdot t\) ou \(U=RI\text{,}\) ou encore \(W= F\cdot d\text{.}\) En oubliant les unités, toutes ces formules sont autant de versions de "aire = longueur fois largeur". Mais leur champ d'application est restreint au cas où ces quantités sont constantes; en particulier, aux cas où elles ne varient pas l'une en fonction de l'autre. En termes géométriques, nous sommes limités à l'aire des rectangles.
Comment alors passer des rectangles à des formes plus compliquées ? La géométrie euclidienne classique est riche de résultats astucieux donnant l'aire de formes polygonales alambiquées, et de formes courbes pourvues qu'elles soient très régulières: cercles et ellipses. Toutefois, cette approche, qui nous oblige à déployer des trésors d'ingéniosité pour chaque forme spécifique, ne paraît pas très efficace.
Peut-on faire mieux que ça ? Notamment, quel est la bonne analogie quand une quantité dépend de l'autre ?