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Section 3.2 Tribus et ensembles mesurables

Cela nous amène à la définition suivante:

Définition 3.2.1.

Soit \(X\) un ensemble. On appelle tribu (ou \(\sigma\)-algèbre) sur \(X\) une famille \(\mathscr T\) de parties de \(X\) telle que

  1. \(\displaystyle \emptyset \in \mathscr T\)

  2. Si \(A\in \mathscr T\) alors son complémentaire \(A^c\in \mathscr T\)

  3. Si \((A_n)_n \) est une famille dénombrable d'éléments de \(\mathscr T\text{,}\) alors \(\bigcup_n A_n \in \mathscr T\text{.}\)

Les éléments de \(\mathscr T\) sont les parties mesurables de \(X\text{,}\) et on dit que \((X, \mathscr T)\) est un espace mesurable.

Quelques propriétés immédiates qui découlent de cette définition:

Les exemples suivants fonctionnent quel que soit l'ensemble \(X\text{:}\)

  1. \(\{\emptyset, X\}\) est la plus petite tribu sur \(X\text{.}\)

  2. Soit \(A \subset X\text{.}\) Alors \(\{\emptyset, A, A^c, X\}\) est la plus petite tribu sur \(X\) qui contient \(A\text{.}\)

  3. \(\mathcal P(X)\) est la plus grande tribu sur \(X\text{.}\)

  4. \(\{A \in \mathcal P(X),\, A \text{ dénombrable ou } A^c \text{ dénombrable }\}\) est une tribu sur \(X\text{.}\)

Soit \((E, \|.\|)\) un espace vectoriel normé. Alors l'ensemble des ouverts de \(E\) n'est pas une tribu, puisque le complémentaire d'un ouvert est un fermé (en général non ouvert).

L'ensemble des ouverts et des fermés de \(E\) n'est toujours pas une tribu: par exemple, dans \(\mathbb R\text{,}\) pour tout \(n\text{,}\) \(\rbb 0,1-\frac 1n\lbb \) est fermé, mais \(\bigcup_n \rbb 0,1-\frac 1n\lbb = \rbb 0,1\rbb \) n'est ni ouvert, ni fermé.

Et re-exemples:

Soit \(X\) un ensemble non vide, et \(A\in\mathcal P(X)\) un sous-ensemble de \(X\text{.}\) Montrer que

\begin{equation*} \mathscr T_1=\{\emptyset, A,A^c, X\}\subset \mathcal P(X) \end{equation*}

est une tribu sur \(X\text{.}\)

Spoiler.

Soit \(X\) un ensemble non vide. Montrer que l'ensemble

\begin{equation*} \mathscr T_2=\{E\subset X, E \text{ au plus dénombrable ou } E^c \text{ au plus dénombrable }\} \subset\mathcal P(X) \end{equation*}

est une tribu sur \(X\text{.}\)

Indice.
Rappel: une union dénombrable d'ensembles au plus dénombrable est encore dénombrable. Par ailleurs, par convention, on considère que \(\emptyset\) est un ensemble fini (de cardinal nul).
Spoiler.

Montrer que l'ensemble

\begin{equation*} \mathscr T_3=\{A\subset \mathbb R, A=-A\} \subset\mathcal P(\mathbb R) \end{equation*}

des sous-ensembles de \(\mathbb R\) symétriques par rapport à 0 est une tribu sur \(\mathbb R\text{.}\)

Spoiler.

Soit \(X\) un ensemble non vide, et \(\mathscr T\) une tribu sur \(X\text{.}\) Soit de plus \(A\subset X\text{.}\) Montrer que l'ensemble

\begin{equation*} \mathscr T_A=\{B\in \mathscr T, A\subset B \text{ ou } A\cap B = \emptyset\} \subset\mathcal P(X) \end{equation*}

est une tribu sur \(X\text{.}\)

Indice.
Spoiler.

Subsection 3.2.1 Fabrication de tribus

A partir d'une tribu \(\T\) sur un ensemble \(X\text{,}\) on peut en construire de nouvelles:

Soit \((X,\T)\) un ensemble mesurable, et soit \(A\subset X\text{.}\) On note

\begin{equation*} i_A: A\rightarrow X \end{equation*}

la fonction inclusion de \(A\) dans \(X\text{.}\) Montrer que

\begin{equation*} \T_A=i_A^{-1}(\T) \end{equation*}

autrement dit la tribu trace de \(\T\) sur \(A\) coincide avec la tribu image réciproque de \(\T\) par \(i_A\text{.}\)

En revanche, si \((X,\T)\) est un ensemble mesurable, \(Y\) un autre ensemble et \(f:X\rightarrow Y\) une fonction, alors en général, la famille de sous-ensembles

\begin{equation*} \{f(A),A\in \T\}\subset \P(Y) \end{equation*}

n'est pas une tribu sur \(Y\text{.}\)

C'est assez facile à voir, en fait: considérons un exemple mesuré simple: \(X=\{1,2,3\}\) avec la tribu \(\mathcal P(X)\text{,}\) \(Y=\{Chocolat, Epinard, Salsifi\}\text{.}\) On prend une fonction constante

\begin{equation*} f:X\rightarrow Y,\ f(1)=f(2)=f(3)=Chocolat \end{equation*}

Alors que que soit \(A\in\P(X)\) non vide,

\begin{equation*} f(A)=\{Chocolat\} \end{equation*}

et

\begin{equation*} f(\emptyset)=\emptyset \end{equation*}

donc \(\{f(A),A\in \T\} = \{\, \{Chocolat\}\, \}\) n'est pas une tribu, puisque \(Y\notin \{Chocolat\}\, \}\text{.}\)

Trouver un contre-exemple où \(f\) est surjective.

Spoiler.

Prenons

\begin{equation*} X=\{a,b,c\},\ Y=\{1,2\} \end{equation*}

avec la tribu sur \(X\text{:}\)

\begin{equation*} \T=\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},X\} \end{equation*}

 1 

et la fonction \(f:X\rightarrow Y\) définie par

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 \amp \text{ si } x\ne c\\2 \amp \text{ si } x=c.\end{cases} \end{equation*}

Alors

\begin{equation*} f(S)=\{ \emptyset, \{1\}, \{1,2\}\} \end{equation*}

n'est pas stable par complémentaire, donc ce n'est pas une tribu sur \(Y\text{.}\)

Du coup, pour passer d'une tribu sur \(X\) à une tribu sur \(Y\) via une fonction \(f:X\rightarrow Y\text{,}\) il faut se contorsionner un peu:

Si on reprend

\begin{equation*} X=\{a,b,c\},\ Y=\{1,2\} \end{equation*}

avec la tribu sur \(X\text{:}\)

\begin{equation*} \T=\{\emptyset, \{a\},\{b,c\},X\} \end{equation*}

et la fonction \(f:X\rightarrow Y\) définie par

\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} 1 \amp \text{ si } x\ne c\\2 \amp \text{ si } x=c.\end{cases} \end{equation*}

alors

\begin{equation*} \P(Y)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} \end{equation*}

ce qui donne

\begin{gather*} f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \T \leadsto \emptyset \in f(\T)\\ f^{-1}(\{1\}) = \{a,b\} \notin \T \leadsto \{1\} \notin f(\T)\\ f^{-1}(\{2\}) = \{c\} \notin \T \leadsto \{2\} \notin f(\T)\\ f^{-1}(Y) = X \leadsto Y \in f(\T) \end{gather*}

donc au total,

\begin{equation*} f(\T)=\{Y,\emptyset\} \end{equation*}

\(\leadsto\) C'est bien une tribu sur \(Y\) (quoi que pas très riche, mais bon, \(Y\) lui-même est assez peu intéressant...sauf si on parle de loi de Bernoulli, peut-être).

C'est un cas particulier de l'Petit Exercice 3.2.5