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Section 1.1 Comment intégrer ?

Peut-on alors développer une méthode qui s'applique, sinon à tous, au moins à un grand nombre de cas ? C'est là que l'on passe dans le domaine de l'analyse et plus spécifiquement de la théorie de l'intégration.

On reformule la question: étant donnée une fonction \(f:I \rightarrow \mathbb R\) (autrement dit, une quantité qui varie en fonction d'une autre), comment calculer l'aire comprise entre la courbe de \(f\) et l'intervalle \(I\) sur l'axe des abscisses ?

En grossissant suffisamment le trait, on s'aperçoit que l'analyse propose une méthode identique pour une immense variété de problèmes: approximer par quelque chose de plus simple, puis passer à la limite. Dans le cas du calcul d'aire, le plus simple, ce sont les rectangles (c'est-à-dire, les fonctions constantes). On commence donc par approcher la fonction \(f\) par une fonction constante: raisonnablement, celle qui approche le mieux \(f\text{,}\) soit par en-dessous (\(\inf_I f\)), soit par au-dessus (\(\sup_I f\)).

Evidemment, cette approximation est trop grossière pour être satisfaisante. On va donc l'améliorer pas à pas, dans l'idée que, à l'infini, on obtiendra l'aire souhaitée. Pour faire mieux, donc, on peut découper \(I\) en deux sous-intervalles \(I_1\) et \(I_2\text{,}\) et approcher \(f\) par une constante sur chaque sous-intervalle. Pour faire encore mieux que ça, on peut redécouper \(I_1\) et \(I_2\text{.}\) Et ainsi de suite...

Figure 1.1.1. Première itération
Figure 1.1.2. "Et ainsi de suite"

Un précurseur de cette solution se trouve déjà dans le cours d'analyse de Cauchy, rédigé en 1821. Dans ce cours, si \(f:\rbb a,b\lbb \rightarrow \mathbb R\) est une fonction continue, alors on lui associe son intégrale \(I(f)\) par

\begin{equation*} I(f)=\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{k=0}^N \frac{b-a}N f(a+k\frac{b-a}N). \end{equation*}

Remarque 1.1.3.

Dans cette formule, sur chaque sous-intervalle

\begin{equation*} \left]\, a+k\frac{b-a}N,a+(k+1)\frac{b-a}N\right[\,, \end{equation*}

\(f\) est approximée par la fonction constante égale à \(f(a+k\frac{b-a}N)\text{,}\) plutôt que par \(\inf_{\lbb a+k\frac{b-a}N,a+(k+1)\frac{b-a}N \rbb } f\) ou \(\sup_{\lbb a+k\frac{b-a}N,a+(k+1)\frac{b-a}N\rbb} f\text{.}\) S'agissant d'une fonction continue, on obtient la même limite quand \(N\rightarrow \infty\)  1 

Les travaux de Riemann, présentés vers 1850, visaient à déterminer pour quelles fonctions (au-delà des fonctions continues) on pouvait faire fonctionner ce procédé.

Pourquoi ?