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Compléments d'intégration
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1
Grandeur et décadence de l'intégrale de Riemann
Comment intégrer ?
Construction de l'intégrale de Riemann
Limites (!) de l'intégrale de Riemann
2
La mesure extérieure sur les réels
Longueur d'intervalles et approximation par des intervalles
Propriétés de la mesure extérieure
Le retour des problèmes
3
Tribus et boréliens
Qui sont les sous-ensembles sympathiques de R ?
Tribus et ensembles mesurables
Tribu engendrée
Retour au(x) réel(s) : la tribu de Borel
Qui sont les boréliens, vraiment ?
Sous-ensemble non-borélien de
\(\mathbb R\)
Vers l'infini et... c'est déjà pas mal: boréliens de
\(\overline \R\)
4
Mesures
Définition et premiers exemples
Exemples de mesures
Mesure de Borel sur
\((\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))\)
Caractérisation d'une mesure et unicité.
Constructions de mesures par extension
5
Mesures complètes - Mesure de Lebesgue sur
\(\R\)
Sous-ensembles négligeables
L'ensemble de Cantor
Complétion des mesures
Comparaison des tribus de Borel et de Lebesgue
6
Fonctions mesurables
Définition et premiers exemples
Exemples de fonctions mesurables
Opérations sur les fonctions mesurables
Limites de fonctions mesurables
Fonctions étagées
7
Intégration
Intégrale des fonctions étagées positives
Intégrale des fonctions mesurables positives
Théorème de convergence monotone
Exemples de calculs d'intégrales
Riemann vs Lebesgue
8
Intégrales multiples et mesure produit
Tribu produit
Mesure produit
Intégration dans tous les sens: théorèmes de Fubini et Fubini-Tonelli
9
Espaces
\(L^p(\mu)\)
Définition
Complétude de
\(L^p(\mu)\)
10
Les merveilles de l'espace de Hilbert
\(L^2(\mu)\)
11
Introduction aux espaces de Sobolev
12
Mesure de Borel et applications linéaires
Histoire de savoir où on va....
Cas 1: Si
\(L\)
est inversible, et que
\(B\)
est un cube (on peut rêver)
Du cube aux rectangles
Des rectangles aux boréliens
Cas 2: Si
\(L\)
n'est pas inversible.
Authored in PreTeXt
Chapter
10
Les merveilles de l'espace de Hilbert
\(L^2(\mu)\)