Skip to main content

Section 2.1 Longueur d'intervalles et approximation par des intervalles

Pour mener à bien ce programme, on part de ce qu'on connaît: les longueurs d'intervalles. Pour un intervalle ouvert \(I \subset \mathbb R\text{,}\) on définit sa longueur, sans grande surprise, par

\begin{equation*} \ell(I) = \begin{cases} b-a \text{ si } I= \lbb a,b\rbb \\ 0 \text{ si } I = \emptyset\\ \infty \text{ si } I=\mathbb R,\, \lbb a,\infty\rbb \text{ ou } \lbb -\infty, a\rbb \end{cases} \end{equation*}

Il semble également raisonnable que la longueur d'une union disjointe d'intervalles soit la somme de la longueur des intervalles. Par exemple, la longueur de \(\lbb 2,3\rbb \cup\lbb 4,6\rbb \) est \(1+2=3\text{.}\) De plus, si un sous-ensemble de \(\mathbb R\) est inclus dans un autre, on est en droit de s'attendre à ce que la longueur du premier soit majorée par celle du deuxième.

De là, si \(A\) est une partie de \(\mathbb R\text{,}\) et \((I_n)_n\) une suite d'intervalles telle que \(A \subset \bigcup_n I_n\text{,}\) alors la mesure de \(A\) devrait être plus petite que la somme des \(\ell(I_n)\text{,}\) et en "resserrant" les intervalles autour de \(A\text{,}\) on devrait approcher d'une mesure raisonnable pour \(A\text{.}\)

C'est ce qui inspire la définition suivante:

Définition 2.1.1. (Mesure extérieure).

La mesure extérieure \(|A|\) d'une partie \(A\subset \mathbb R\) est définie par

\begin{equation*} |A|=\inf \left\{ \sum_n \ell(I_n),\, (I_n)_{n\in \mathbb N} \text{ intervalles t.q. } A \subset \bigcup_n I_n\right\} \end{equation*}

Remarque 2.1.2.

La somme \(\sum \ell(I_n)\) est éventuellement infinie. La mesure extérieure définit ainsi une fonction \(\mathcal P(\mathbb R)\rightarrow \rbb 0,\infty\lbb \text{.}\)