Compléments d'intégration

Si \(|U| = \infty\text{,}\) le résultat est immédiat. Supposons donc que \(|U|\lt \infty\text{.}\)

• Si \(U= \lbb a,b\rbb \text{,}\) on peut supposer que \(a,b \notin A\) (quitte à ôter ces deux points de \(A\text{,}\) ce qui ne change pas sa mesure extérieure). Soit \((I_n)_n\) une suite d'intervalles tels que \(A \cup U \subset \bigcup_n I_n\text{.}\) On pose

  \begin{equation*} J_n = I_n\, \cap\ \lbb -\infty,a\rbb \quad K_n = I_n\, \cap\, \lbb a,b\rbb \quad L_n = I_n\, \cap\, \lbb b, +\infty\rbb \end{equation*}

  de sorte que, puisque \(A\) et \(U\) sont disjoints,

  \begin{equation*} U=\lbb a,b\rbb \subset K_1\cup K_2\ldots \quad \text{et} \quad A\subset J_1\cup L_1\cup J_2\cup L_2\ldots. \end{equation*}

  On a, pour tout \(n\in\mathbb N\text{,}\) \(\ell(I_n)=\ell(J_n)+\ell(K_n)+\ell(L_n)\text{,}\) donc

  \begin{equation*} \sum_{n\geq 0}\ell(I_n) = \sum_{n\geq 0}(\ell(J_n)+\ell(L_n))+\sum_{n\geq 0}\ell(K_n)\geq |A|+|U| \end{equation*}

  donc

  \begin{equation*} |A\cup U|=\inf\left\{\sum_{n\geq 0}\ell(I_n), A \cup U \subset \bigcup_n I_n\right\}\geq |A|+|U| \end{equation*}

  comme souhaité.

• Par récurrence sur \(n\in \mathbb N^*\text{,}\) on obtient que si \(U=\cup_{k=0}^n I_k\text{,}\) où les \(I_k\) sont des intervalles ouverts disjoints, alors on a encore \(|A\cup U|=|A|+|U|\text{.}\)

• Maintenant, si \(U\) est un ouvert quelconque de \(\mathbb R\text{,}\) on a vu dans la preuve du lemme \(\ref{lemme:eng_borel}\) que \(U\) est une union dénombrable d'intervalles ouverts \((I_n)_{n\in \mathbb N}\text{,}\) qui vérifient, pour tous \(p,q\text{,}\) soit \(I_p=I_q\text{,}\) soit \(I_p\cap I_q=\emptyset\text{.}\)

  Quitte à jeter les doublons, on peut donc supposer que les \((I_n)_n\) sont disjoints. Ainsi, \(U=\bigcup_{n\in\mathbb N}I_n\text{,}\) où les \(I_n\) sont des intervalles ouverts disjoints. Mais alors, pour tout \(N\in \mathbb N\text{,}\) \(A\cup \bigcup_{n=0}^N I_n \subset A\cup U\text{,}\) donc, par monotonie de la mesure extérieure,

  \begin{equation*} |A\cup U|\geq \left|A\cup \bigcup_{n=0}^N I_n\right|=|A|+\sum_{n=0}^N \ell(I_n) \end{equation*}

  En prenant la limite \(N\rightarrow \infty\text{,}\) on obtient bien

  \begin{equation*} |A\cup U| \geq |A|+\sum_{n=0}^\infty \ell(I_n)=|A|+|U|. \end{equation*}

Soit \(F\) un fermé de \(\mathbb R\text{,}\) et \((I_n)_n\) une suite d'intervalles ouverts tels que \(A\cup F\subset \bigcup_n I_n\text{.}\) Mais alors \(U=\bigcup_n I_n\) est un ouvert tel que \(A\subset U\setminus F\text{,}\) donc \(|A|\leq |U\setminus F|\text{.}\)

Or, d'après l'étape 1, \(|U|=|F\cup(U\setminus F)|=|F|+|U\setminus F|\text{,}\) donc

donc, puisque ceci vaut pour toute suite d'intervalles ouverts contenant \(A\cup F|\text{,}\)

Considérons les sous-ensembles de \(\mathbb R\) qui sont `approximables par des fermés':

Remarquons que \(\mathcal L\) contient, trivialement, tous les fermés de \(\mathbb R\text{.}\) Or, \(\mathscr B(\mathbb R)\) est la plus petite tribu qui contient les fermés, donc, si on montre que \(\mathcal L\) est une tribu, on aura automatiquement \(\mathscr B(\mathbb R)\subset \mathcal L\text{.}\) C'est donc ce que nous allons faire.

• On commence par montrer que \(\mathcal L\) est stable par intersection dénombrable. Soit donc \((D_n)_n\in\mathcal L^{\mathbb N}\text{;}\) on veut montrer que \(\bigcap_n D_n \in \mathcal L\text{.}\) Soit \(\varepsilon\gt 0\text{.}\) Pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\) puisque \(D_n\in\mathcal L\text{,}\) il existe un fermé \(F_n\subset D_n\) tel que \(|D_n\setminus F_n|\lt \frac{\varepsilon}{2^n}\text{.}\) Alors \(F=\bigcap F_n\) est un fermé inclus dans \(\bigcap_n D_n\text{,}\) et on a

  \begin{equation*} \left(\bigcap_n D_n\right) \setminus \left(\bigcap_n F_n\right) \subset \bigcup_n(D_n\setminus F_n) \end{equation*}

  donc

  \begin{equation*} \left|\left(\bigcap_n D_n\right) \setminus F\right| \leq \left|\bigcup_n(D_n\setminus F_n)\right|\leq \sum_{n\geq 0} \frac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon. \end{equation*}

  On a donc bien \(\bigcap_n D_n\in\mathcal L\text{.}\)

• On montre maintenant que \(\mathcal L\) est stable par passage au complémentaire. Soient \(D\in \mathcal L\) et \(\varepsilon>0\text{.}\) Deux cas se présentent:

  \(\bullet\) Si \(|D|\lt \infty\text{,}\) soit \(F\subset D\) un fermé tel que \(|D\setminus F|\lt \frac\varepsilon 2\text{.}\) Par définition de la mesure extérieure, il existe un ouvert \(U\) (union dénombrable d'intervalles) tel que \(D\subset U\) et \(|U|\lt |D|+\frac\varepsilon 2\text{.}\)

  Alors \(U^c\) est un fermé inclus dans \(D^c\) et on a

  \begin{equation*} D^c \setminus U^c = U\setminus D \subset U\setminus F \end{equation*}

  donc, en utilisant les étapes 1 et 2,

  \begin{equation*} |D^c \setminus U^c| \leq |U\setminus F|=|U|-|F|=(|U|-|D|)+(|D|-|F|) \lt \frac \varepsilon 2 + \frac \varepsilon 2 = \varepsilon. \end{equation*}

  donc \(D^c\in \mathcal L\text{.}\)

• Enfin, puisque \(\mathcal L\) est stable par intersection dénombrable et par passage au complémentaire, on en déduit que \(\mathcal L\) est stable par union dénombrable. C'est donc bien une tribu.

Soit \(B\in\mathscr B(\mathbb R)\) un borélien, et \(A\) une partie de \(\mathbb R\) disjointe de \(B\text{.}\) Soit \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) D'après l'étape 3, il existe un fermé \(F\subset B\) tel que \(|B\setminus F|\lt \varepsilon\text{.}\) Alors

Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon\gt 0\text{,}\) on a bien \(|A\cup B| \geq |A|+|B|\text{,}\) comme souhaité.

Il ne nous reste plus qu'à montrer que la mesure extérieure restreinte aux boréliens vérifie l'additivité dénombrable. De l'étape 4, on déduit, par récurrence, qu'elle vérifie déjà l'additivité finie.

Soit \((B_n)_n \in \mathscr B(\mathbb R)^\mathbb N\) une suite de boréliens disjoints. Alors, pour tout \(N\in\mathbb N\text{,}\)

Par passage à la limite quand \(N\rightarrow\infty,\) on a donc

Puisqu'on a déjà démontré l'autre inégalité (sous-additivité dénombrable pour la mesure extérieure), ceci conclut la preuve.

On va utiliser les résultats de la section Section 4.3. Plus précisément, notons \(\mathscr I\) la famille de tous les intervalles de \(\mathbb R\text{.}\) Alors

1. \(\mathscr I\subset \mathscr B(\mathbb R)\text{;}\)

2. \(\mathbb R\in \mathscr I\) et \(\mathscr I\) est stable par intersection finie;

3. La famille \(\mathscr I\) engendre \(\mathscr B(\mathbb R)\text{:}\) \(\sigma(\mathscr I)=\mathscr B(\mathbb R)\text{.}\)

Supposons maintenant qu'il existe deux mesures \(\mu\) et \(\mu'\) sur \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\text{,}\) invariantes par translation et généralisant la longueur des intervalles: pour tout \(I\in \mathscr I, \mu(I)=\ell(I)\mu'(I)\text{.}\)

Pour \(n\in\mathbb N\text{,}\) posons \(I_n=\rbb -n,n\lbb \in \mathscr I\text{.}\) Alors, pour tout \(n\in\mathbb N\) \(I_n\subset I_{n+1}\text{,}\) \(\mu(I_n)=\mu'(I_n)=2n\lt \infty\) et \(\mathbb R= \bigcup_n I_n\text{.}\)

On peut donc appliquer la corollaire Corollaire 4.3.6, ce qui donne \(\mu=\mu'\text{.}\)