Accueil

Compléments d'analyse S6 - Quelques compléments aux compléments

Références:

  • Sur l'intégration: Axler, Measure, Integration and Real Analysis, (MIRA pour les intimes). Les +: il est disponible en ligne, et vraiment agréable à lire. Les - : il est en anglais.
  • Une référence en français: l'excellent polycopié de Thierry Gallay, disponible ici.
  • Pour le calcul différentiel, le livre de F. Rouvière, Petit guide de calcul différentiel est très agréable.

Première partie: Intégration et espaces de Lebesgue

Résumé des épisodes précédents

Au début de notre histoire, avant qu'Henri Lebesgue ne quitte la Comté, les mathématiciens vivent heureux dans la Comté, ou, depuis 1868, ils pouvaient intégrer toutes sortes de fonctions raisonnables: continues, ou pas trop horriblement discontinues, monotones, et, avec un peu de travail, des fonctions non bornées ou des limites de suites de fonctions.

Mais tout le monde n'était pas satisfait de cet état de fait. Certes, l'intégrale de Riemann permet de gérer l'aire sous la courbe des fonctions les plus communes qui rôdent dans les bois avoisinants, mais que faire face à des ennemis plus puissants, comme la fonction indicatrice des rationnels ? Elle ne prend que deux valeurs, on devrait pouvoir la gérer...non ?

Et que dire des suites de fonctions inoffensives mais dont la limite n'est subitement plus intégrable ? Il y a, bien sûr, quelques théorèmes de convergence, mais leurs hypothèses (intégrabilité de la fonction limite, convergence uniforme sur un intervalle fermé borné) semblent terriblement restrictives.

C'est vrai, répondent les anciens aux mécontents, mais la terrible réalité est qu'on ne sait pas calculer l'aire de grand chose. En fait, dès que les bords ne sont pas droits, c'est tout de suite très pénible. L'intégrale de Riemann nous permet d'intégrer toutes les fonctions dont l'aire sous la courbe peut s'approximer par des rectangles, mais comment va-t-on faire mieux ?

Mais justement, intervient Emile Borel, comment construit-on l'intégrale de Riemann d'une fonction $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$, au juste ? On découpe $[a,b]$ en petits sous-intervalles $[x_i, x_{i+1}]$, et on approche de l'aire sous la courbe de $f$ par la somme $$I(f, (x_0,x_1,\dots,x_n)) = \sum_{i=0}^{n-1} (x_{i+1}-x_i)\inf_{[x_i, x_{i+1}]}f$$ Oui, voilà, s'impatiente le conseil des Anciens, des rectangles !

Riemann integral irregular.gif
By Kieff - Own work, Public Domain, Link

Regardez mieux, leur dit Borel. On approche l'aire sous la courbe de $f$ par une somme de longueurs d'intervalles multipliées par l'inf des valeurs de $f$ sur chaque intervalle.
Et si on savait calculer la mesure d'autres ensembles que des intervalles ?

Borel travaillant sur la théorie de la mesure

Saison 2: la théorie de la mesure

Le but de la théorie de la mesure est, comme le nom l'indique, de trouver un moyen de "mesurer" des parties de $\mathbb R$. Autrement dit, à sous-ensemble $A$, on associe un nombre positif qui représente sa mesure.
Il y a plusieurs de façons de faire: par exemple, on pourrait définir la mesure d'une partie $A$ comme son nombre d'éléments. C'est le plus naturel sur $\mathbb N$, et c'est ce que l'on appelle la mesure de comptage. Mais dans $\mathbb R$, il y a beaucoup plus d'éléments et de "types" de sous-ensembles, et si on se contente de compter, la plupart des sous-ensembles "intéressants", comme les intervalles, vont avoir une mesure infinie, ce qui ne nous éclaire pas beaucoup.

Qui plus est, on voudrait utiliser cette notion de mesure pour généraliser l'intégrale des fonctions au sens de Riemann. On veut donc garder tel quel ce qui marche déjà, donc on veut que la mesure d'un intervalle $[a,b]$, $]a,b[$ ou $]a, b]$ soit sa longueur. C'est la première exigence.
Il y a quelques autres propriétés qui sembleraient raisonnables: notamment l'additivité, autrement dit, on demande que la mesure d'une union de sous ensembles disjoints soit la somme de la mesure de ces sous-ensembles. Ou encore, l'invariance par translation: on demande que la mesure d'un ensemble reste la même si on le décale d'une quantité fixée.

Plot twist: on peut démontrer qu'il n'existe aucune fonction $m: \mathcal P(\mathbb R)\rightarrow [0, +\infty]$ telle que

  • si $I$ est un intervalle, $m(I)$ soit sa longueur,
  • si $(A_n)_n$ est une famille dénombrable de parties disjointes de $\mathbb R$, alors $m\left(\bigcup A_n\right)= \sum_n m(A_n)$,
  • pour toute partie $A$ de $\mathbb R$, pour tout $t\in \mathbb R$, $m(A+t)=m(A)$.

Cela dit, Borel et Lebesgue ont perdu cette bataille, mais ils n'ont pas perdu la guerre. Il est impératif de garder les trois propriétés naturelles. Stratégiquement, ce qu'il reste à sacrifier, c'est le fait que $m$ soit définie sur $ \mathcal P(\mathbb R)$ tout entier. Le problème de $ \mathcal P(\mathbb R)$, c'est que c'est un ensemble absolument monstrueux, qui contient toutes sortes de sous-ensembles bizarres. Par exemple, les ensemble de Cantor, gros ou maigres.

Quel est le bon ensemble de définition pour $m$ ? Pour que les propriétés souhaitées fassent sens, il doit être stable par union dénombrable. On souhaiterait aussi pouvoir passer au complémentaire (si on sait mesurer une partie, on doit bien pouvoir mesurer ce qui reste). Ces deux propriétés nous amènent à la notion de tribu. On veut aussi, bien sûr, que l'ensemble de définition de $m$ contienne tous les intervalles. Or, les intervalles sont les "boules" de la topologie usuelle sur $\mathbb R$: si la mesure est définie sur toutes les boules, elle va devoir mesurer tous les ouverts ! On considère donc la tribu la plus économique qui contienne les ouverts: c'est ce que l'on appelle la tribu borélienne.

Cette fois, c'est une victoire: sur la tribu des boréliens, il existe une application $m$ à valeurs dans $0, +\infty]$ vérifiant les trois propriétés souhaitées. On l'appelle la mesure de Borel. On peut l'étendre à une tribu plus grande (la tribu de Lebesgue) et on l'appelle alors mesure de Lebesgue (dans les deux cas, il s'agit de la mesure extérieure restreinte à une tribu appropriée). Armés de cette mesure, Borel, Lebesgue et leurs disciples construisirent une nouvelle intégrale, plus puissante, permettant de dépasser les faiblesses de l'intégrale de Riemann.

L'intégrale de Lebesgue roulant sur l'indicatrice des rationnels (Vue d'artiste).

Un des grands atouts de cette nouvelle intégrale est la facilité de passage à la limite, illustrée par 3 théorèmes majeurs:

Les deux premiers sont de puissants leviers théoriques; nombre de théorèmes d'intégration se terminent par la formule rituelle "On conclut par convergence monotone. Amen." Le dernier, souvent utilisé dans les exemples, permet de traiter de nombreux problèmes de passage à la limite. Pas tous, cependant: le passage à la limite sous l'intégrale reste une entreprise risquée. Le site Math3ma offre d'excellents contre-exemples illustrés: