Mesure de Borel et applications linéaires

Chapitre 11 Mesure de Borel et applications linéaires

Ici, on va s'attaquer à la démonstration du théorème suivant:

Théorème 11.0.1.

Soit \(L\in \mathcal L(\R^n,\R^n)\) un endomorphisme de \(\R^n\) (où \(n\geq 2\)) ¹ et soit \(B\in\B(\R^n)\) un borélien de \(\R^n\text{.}\)

Alors on a

\begin{equation*} \mu_n(L(B))= |\det(L)| \mu_n(B) \end{equation*}

Rappelons au cas où que \(B\in\B(\R^n)\) est la tribu sur \(\R^n\) engendrée par les ouverts de \(\R^n\text{.}\) On peut aussi montrer qu'elle est engendrée par les "hyperpavés" :

\begin{equation*} \B(\R^n) = \sigma(\{\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb,\ a_i,b_i\in\R\}) \end{equation*}

et \(\mu_n\) est la mesure de Borel sur \(\R^n\) : c'est l'unique mesure \(\B(\R^n)\rightarrow \rbb 0,+\infty\lbb \) telle que

\begin{equation*} \mu_n(\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb)=(b_1 - a_1)(b_2-a_2)....(b_n-a_n), \end{equation*}

pour tous \(a_1,b_1,...,a_n,b_n\in \R\) tels que pour chaque \(i=1,...,n\text{,}\) \(a_i\leq b_i\text{.}\)

Remarque 11.0.2.

La mesure de Borel sur \(\R\text{,}\) \(\mu_1\text{,}\) nous sert à définir la "longueur" des boréliens de \(\R\text{,}\) donc on la définit pour que

\begin{equation*} \mu_1(\rbb a,b\rbb ) = b-a \end{equation*}

\(\leadsto\) Autrement dit, pour un intervalle, on sait déjà quelle est la "bonne" réponse: la longueur de \(\rbb a ,b \rbb\text{,}\) ça devrait être \(b-a\text{.}\)

De même, le rôle de la mesure de Borel \(\mu_2\) sur \(\R^2\) est de définir l'aire d'un borélien, donc on veut que, pour le cas connu d'un rectangle \(R = \rbb a_1,b_1\rbb \times \rbb a_2,b_2\rbb\text{,}\) ça donne

\begin{equation*} \mu_2(\rbb a_1,b_1\rbb \times \rbb a_2,b_2\rbb ) = (b_1-a_1)(b_2-a_2) \end{equation*}

Et dans \(\R^3\text{,}\) on veut que \(\mu_3\) généralise le volume: et du coup, si on a un pavé \(P = \rbb a_1,b_1\rbb \times \rbb a_2,b_2\rbb \times \rbb a_3,b_3\rbb\text{,}\) on veut que

\begin{equation*} \mu_3(P)= \mu_3(\rbb a_1,b_1\rbb \times \rbb a_2,b_2\rbb \times \rbb a_3,b_3\rbb) = (b_1-a_1)(b_2-a_2)(b_3-a_3) \end{equation*}

Rappelons aussi ce qu'on entend par le déterminant de \(L\text{:}\) c'est le déterminant de la matrice \(\rbb L\lbb _{\mathcal B_0}\) qui représente \(L\) dans la base canonique \(\mathcal B_0\) de \(\R^n\text{.}\)

Et en fait, c'est aussi le déterminant de la matrice de \(L\) dans n'importe autre quelle base \(\mathcal B\) de \(\R^n\text{:}\) en effet, si on note \(P\) la matrice de passage de \(\mathcal B_0\) à \(\mathcal B\text{,}\) alors \(\rbb L\lbb _{\mathcal B} = P^{-1}\rbb L\lbb _{\mathcal B_0}P\text{,}\) donc

\begin{equation*} \det(\rbb L\lbb _{\mathcal B})= \det( P^{-1}\rbb L\lbb _{\mathcal B_0}P) = \det( P)^{-1}\det(\rbb L\lbb _{\mathcal B_0})\det(P) = \det(\rbb L\lbb _{\mathcal B_0}) \end{equation*}

\(\leadsto\) C'est ce qui nous permet de parler du déterminant de l'endomorphisme \(L\text{,}\) sans avoir à spécifier dans quelle base on a calculé la matrice.

Pour montrer le Théorème 11.0.1, le plan sera le suivant:

On va séparer deux cas: le cas où \(L\) est inversible, et le cas où \(L\text{...}\)eh bien, ne l'est pas.

Pour le cas où \(L\) est inversible, on va faire ça doucement par étapes.
1. Avant de s'attaquer aux boréliens sauvages, on va s'échauffer sur un ensemble beaucoup plus domestiqué: le cube ² unité \(C_0^n= \rbb 0,1\rbb ^n\text{.}\)
  
  Et pendant qu'on y est, on va aussi commencer par considérer des applications linéaires \(L\) inversibles particulièrement simples: bon, \(L=I_n\text{,}\) c'est peut-être un peu trop simple, mais on va regarder des endormorphismes dits "élémentaires" qui ne sont pas beaucoup plus méchants.
2. A partir de ces endomorphismes élémentaires, on va repasser à un isomorphisme linéaire \(L\) quelconque, toujours dans le cas de \(B=C_0^n\text{:}\) on va montrer modestement que
  
  \begin{equation*} \mu_n(L(C_0^n)) = |\det L| \mu_n(C_0^n) \end{equation*}
3. De là, on va passer à un (hyper-)rectangle quelconque \(R=\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb\text{:}\)
  
  \begin{equation*} \mu_n(L(R))= |\det L| \mu_n (R) = |\det L| \, (b_1 - a_1)(b_2-a_2)....(b_n-a_n) \end{equation*}
  
  en utilisant l'invariance par translation de \(\mu_n\) et la linéarité de \(L\text{.}\)
4. Et maintenant, on va utiliser le fait que \(\mu_n\) est l'unique mesure sur \((\R^n ,\B(\R^n))\) telle que
  
  \begin{equation*} \mu_n(\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb)=(b_1 - a_1)(b_2-a_2)....(b_n-a_n). \end{equation*}
  
  ³
Le cas où \(L\) n'est pas inversible va être en fait plus facile, mais elle utilise le cas où \(L\) est inversible, donc on va la garder pour la fin à la Section 11.5

On va supposer que le résultat équivalent pour \(n=1\) est déjà connu:

\begin{equation*} \forall \lambda \in\R, \forall B \in \B(\R), \mu_1(\lambda B) = |\lambda| \mu_1(B) \end{equation*}

et on va d'ailleurs allègrement utiliser ce résultat.

hypercube ?

Si vous connaissez la preuve du résultat similaire sur \(\R\text{,}\) \(\mu_1(sB)=|s|\mu_1(B)\text{,}\) vous savez déjà comment !