Riemann vs Lebesgue

Section 7.5 Riemann vs Lebesgue

Après tout ce travail, si on a une gentille fonction \(f:\rbb a,b\lbb \rightarrow \R\) sur un segment \(\rbb a,b\lbb \) , on a deux façons de tenter de calculer l'aire sous sacourbe:

Si elle est Riemann-intégrable, on peut calculer sa bonne vieille intégrale de Riemann: \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\text{.}\)
Si elle est Lebesgue-intégrable, on peut calculer sa toute nouvelle intégrale par rapport à la mesure \(\lambda_1\) de Lebesgue: \(\displaystyle\int_{\rbb a,b\lbb } f\,d\lambda_1\text{.}\)

\(\leadsto\) Quel rapport entre les deux ?

Remarque 7.5.1. Pourquoi cette question ?

Puisqu'on utilise la même notation, on s'attend à trouver la même chose.... mais techniquement, on ne peut pas en être sûrs: après tout,

\begin{equation*} \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \text{ et }\displaystyle\int_{\rbb a,b\lbb } f\,d\lambda_1 \end{equation*}

sont deux nombres qu'on a calculés à partir de \(f\text{,}\) en uilisant des procédés totalement différents:

L'intégrale de Riemann \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est obtenue en partant de \(\rbb a,b\lbb \text{,}\) qu'on découpe en sous-intervalles, et en approchant \(f\) par des fonctions constantes sur chaque sous-intervalle;
L'intégrale de Lebesgue \(\displaystyle\int_{\rbb a,b\lbb } f\,d\lambda_1\) est obtenue en partant de \(f\) et en triant les points de \(\rbb a,b\lbb \) selon les valeurs prises par \(f\text{.}\)

Graphiquement, ça a une tête à donner la même chose à la fin:

....ce qui, évidemment, ne prouve rien: il y a des fonctions intégrales beaucoup plus bizarres que celles qu'on peut dessiner !

Evidemment, je ne vous dirai pas ça si ça ne marchait pas bien:

Théorème 7.5.3.

Soit \(f:\rbb a,b\lbb \rightarrow\R\) une fonction bornée. Si \(f\) est Riemann-intégrable sur \(\rbb a,b\lbb \text{,}\)alors \(f\) est Lebesgue-intégrable sur \(\rbb a,b\lbb \) (i.e. \(f\in\L^{1}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\lambda_{1};\R)\)) et

\begin{equation*} \int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{\rbb a,b\lbb }fd\lambda_{1}. \end{equation*}

Exercice Preuve

Pour commencer, comment, exactement, obtient-on l'intégrale de Riemann ?

Pour une fonction bornée \(f:\rbb a,b\lbb \rightarrow\R\) et une subdivisionde \rbb a,b\lbb ³

\begin{equation*} \sigma=(a=x_{0}\lt x_{1}\lt ...\lt x_{m}=b), \end{equation*}

on définit

\begin{gather*} I^{+}(f,\sigma) =\sum_{i=0}^{n-1}\sup_{\lbb x_{i},x_{i+1}\rbb }f\cdot(x_{i+1}-x_{i})\\ I^{-}(f,\sigma) =\sum_{i=0}^{n-1}\inf_{\lbb x_{i},x_{i+1}\rbb }f\cdot(x_{i+1}-x_{i}) \end{gather*}

Alors \(f\) est Riemann-intégrable sur \(\rbb a,b\lbb \) ssi pour tout \(\varepsilon>0\text{,}\) il existe une subdivision \(\sigma_{\varepsilon}\) telle que

\begin{equation*} I^{+}(f,\sigma_{\varepsilon})-I^{-}(f,\sigma_{\varepsilon})\lt \varepsilon. \end{equation*}

Autrement dit, \(f\) est Riemann-intégrable sur \(\rbb a,b\lbb \) ssi, pour tout \(\varepsilon>0\text{,}\) il existe deux fonctions en escalier \(g_{\varepsilon}\) et \(h_{\varepsilon}\) telles que

\begin{equation*} g_{\varepsilon}\leq f\leq h_{\varepsilon}\text{ et }0\leq\int_{a}^{b}h_{\varepsilon}(t)dt-\int_{a}^{b}g_{\varepsilon}(t)dt\lt \varepsilon. \end{equation*}

1.

Prequel: Intégrale de Lebesgue des fonctions en escaliers.

Soit \(e:\rbb a,b\lbb \rightarrow\R\) une fonction en escaliers. Montrer que

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }e\,d\lambda_{1} =\int_{a}^{b}e(t)\,dt \end{equation*}

Spoiler.

Puisque \(e\) est en escaliers, il existe une subdivision de \(\rbb a,b\lbb \text{,}\)

\begin{equation*} x_{0}=a\lt x_{1}\lt ...\lt x_{N}=b \end{equation*}

telle que, pour tout \(k=0,...,N-1\) , il existe une constante \(c_{k}\in\R\) telle que \(e_{|\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb }=c_{k}\text{.}\) Autrement dit,

\begin{equation*} e=\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}1_{\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb }+\sum_{i=0}^{N}g(x_{i})1_{\{x_{i}\}} \end{equation*}

Or, pour tout \(k=0,...N-1,1_{\lbb x_{k}, \rbb x_{k},x_{k+1} \lbb \in\B(\rbb a,b\lbb )\) et pour \(i=1,...,N\text{,}\) \(\{x_{i}\}\in\B(\rbb a,b\lbb )\text{,}\) donc

\begin{gather*} 1_{\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb }\in\L_{0}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\R^{+}) \text{ et }1_{\{x_{i}\}}\in\L_{0}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\R^{+}),\\ \text{donc } e\in \L_{0}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\R) \end{gather*}

De plus,

\begin{gather*} \int_{\rbb a,b\lbb }^{*}1_{\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb }d\lambda_{1} =\lambda_{1}(\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb )=x_{k+1}-x_{k}\lt \infty\\ \int_{\rbb a,b\lbb }^{*}1_{\{x_{i}\}}d\lambda_{1} =\lambda_{1}(\{x_{i}\})=0_lt \infty \end{gather*}

donc \(1_{\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb },1_{\{x_{i}\}}\in\L_{1}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\lambda_{1},\R)\text{.}\) Donc \(e\in\mathscr L_{1}(\rbb a,b\lbb ,\Bb(\rbb a,b\lbb ),\lambda_{1},\R)\) et on a, par linéarité de l'intégrale,

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }e\,d\lambda_{1} =\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}\int_{\rbb a,b\lbb }^{*}1_{\lbb x_{k},x_{k+1}\rbb }d\lambda_{1}+\underbrace{\sum_{i=0}^{N}g(x_{i})\int_{\rbb a,b\lbb }^{*}1_{\{x_{i}\}}d\lambda_{1}}_{=0} =\sum_{k=0}^{N-1}c_{k}(x_{k+1}-x_{k})=\int_{a}^{b}e(t)\,dt \end{equation*}

2.

Montrer qu'on peut trouver 2 suites de fonctions en escalier \((h_{n})_n\) et \((g_{n})_n\) telles que, pour tout \(n\in\N\text{:}\)

\begin{equation*} g_{n}\leq f\leq h_{n}\text{ et }0\leq\int_{a}^{b}h_{n}(t)dt-\int_{a}^{b}g_{n}(t)dt\lt \frac{1}{n} \end{equation*}

3.

On pose, pour tout entier \(n\in\N\text{,}\)

\begin{align*} \tilde{g_n}\amp=\max(g_1,....g_n),\\ \tilde{h_n}\amp=\min(h_1,....h_n), \end{align*}

Montrer qu'il existe une subdivision

\begin{equation*} \sigma_{n}=(a=\tau_{0}\lt \tau_{1}\lt ....\lt \tau_{m_{}+1}=b) \text{ de } \rbb a,b\lbb \end{equation*}

et des réels \((c_{0},c_{1},...c_{m})\) tels que, pour tout \(i\in\{0,...,m\}\text{,}\) \(\tilde g_{n|\lbb \tau_{i},\tau_{i+1}\rbb }=c_{i}\text{.}\)

4.

Justifier que \(\tilde g =\lim_{n\rightarrow\infty}\tilde g_{n}\) et \(\tilde h =\lim_{n\rightarrow\infty}\tilde h_{n}\) existent, sont mesurables et sont \(\lambda_1\)-intégrables sur \(\rbb a,b\lbb \text{:}\)

\begin{equation*} \tilde g,\tilde h \in\mathscr L^{1}(\rbb a,b\lbb ,\B(\rbb a,b\lbb ),\lambda_1,\R) \end{equation*}

Spoiler.

5.

Montrer que

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }\tilde g d\lambda_{1}=\int_{\rbb a,b\lbb }\tilde h d\lambda_{1}=\int_{a}^{b}f(t)dt \end{equation*}

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }(\tilde g-\tilde h)d\lambda_{1}=0 \end{equation*}

Indice.

On a, pour tout \(n\in\N\text{,}\)

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }g_{n}d\lambda_{1}\leq\int_{\rbb a,b\lbb }\tilde g_{n}d\lambda_{1}\leq\int_{\rbb a,b\lbb }\tilde g d\lambda_{1}\leq\int_{\rbb a,b\lbb }\tilde h d\lambda_{1}\leq\int_{\rbb a,b\lbb }\tilde h_{n}d\lambda_{1}\leq\int_{\rbb a,b\lbb }h_{n}(t) \end{equation*}

Spoiler.

6.

En déduire qu'il existe un ensemble \(N\in \overline \B(\rbb a,b\lbb )\) tel que, pour tout \(x\in\rbb a,b\lbb \setminus N\text{,}\) \(\tilde g=\tilde h=f\) et \(\lambda_1(N)=0\text{.}\)

Spoiler.

7.

Montrer que \(f\in\L_{1}(\rbb a,b\lbb ,\overline\B(\rbb a,b\lbb ),\lambda_{1},\R)\) et que

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }fd\lambda_{1}=\int_{\rbb a,b\lbb \setminus N}\tilde g d\lambda_{1} \end{equation*}

Indice.

\begin{equation*} f = f1_{\rbb a,b\lbb \setminus N}+f1_{N} \end{equation*}

Spoiler.

8.

En déduire que

\begin{equation*} \int_{\rbb a,b\lbb }fd\lambda_{1} = \int_a^b f(t)\,dt \end{equation*}

Spoiler.

creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0

commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=115959241

C'est à dire un découpage de\(\rbb a,b\lbb \) en un nombre fini \(n\) de sous-intervalles \(\rbb x_{i},x_{i+1}\lbb \)