Section 9.1 Définition
On travaille dans un espace mesuré \((X,\mathscr T, \mu)\text{,}\) et le but du jeu est d'introduire une famille de normes sympathiques, paramétrées par \(p\in \lbb 1,+\infty \rbb\text{,}\) sur des sous-espaces vectoriels de \(\mathscr L^0(X,\mathscr T,\R)\text{.}\)
On pose donc:
Définition 9.1.1.
Soit \(p\in \lbb 1,+\infty \lbb\text{,}\) on définit
et, pour \(f\in\mathscr L^p(\mu)\text{,}\) on pose
\(\leadsto\) Pour avoir accès, sur les ensembles de fonctions mesurables, aux outils de la topologie, il serait agréable que \((\L^p(\mu), N_p)\) soit un espace vectoriel normé, complet si possible.
On arrive à obtenir, sans trop transpirer, les informations suivantes:
Pour tout \(p\geq 1\text{,}\) \(\L^p(\mu)\) est un espace vectoriel et \(N_p:\L^p(\mu)\rightarrow \R^+\) vérifie
Si \(f=0_{\L^p(\mu)}\) alors \(N_p(f)=0\text{;}\)
Pour tous \(f\in L^p(\mu)\) et \(\lambda\in\R\text{,}\) \(N_p(\lambda f)=|\lambda| N_p(f)\text{;}\)
Pour toutes \(f,g\in\L^p(\mu)\text{,}\) \(N_p(f+g)\leq N_p(f)+N_p(g)\text{.}\)
\(\leadsto\) On dit que \(N_p\) est une semi-norme sur \(L^p(\mu)\text{.}\)
Et donc, généralement, pas tout à fait une norme.
Parfois, ce n'est pas un problème:
Exercice 9.1.1.
On considère \((\N, \mathscr P(\N),\mu)\) l'ensemble des entiers muni de la mesure de comptage.
(a)
Montrer que si \(A\) est \(\mu\)-négligeable alors \(A=\emptyset\text{.}\)
(b)
Soit \(f:\N\rightarrow \R^+\) une fonction positive. Montrer que \(f\) est mesurable de \((\N,\mathcal P(\N))\) dans \((\R,\B(\R))\) et que son intégrale par rapport à la mesure de comptage est
(c)
Montrer que, pour tout \(p\geq 1\text{,}\)
muni de \(\|(u_n)_n\|_p=\left( \sum_{n\in\N} |u_n|^p \lt \infty\right)^\frac{1}{p}\) est un espace vectoriel normé.
Mais dans un des cas qui nous intéresse le plus, \((I,\B(I))\) muni de la mesure de Lebesgue \(\lambda_1\text{,}\) le problème se pose vraiment:
Exercice 9.1.2.
(a)
Soit \(I\subset \R\) un intervalle, et \(p\geq 1\text{.}\)
Donner un exemple de fonction \(f\in \L^p(\lambda_1)\) telle que \(f\) n'est pas la fonction nulle sur \(I\text{,}\) mais \(N_p(f)=0\text{.}\)
\(\leadsto\) Au lieu de travailler avec de "vraies" fonctions, on va introduire un espace vectoriel dont les éléments sont des ensembles (ou classes) de fonctions.
Définition 9.1.2.
Soit \(p\geq 1\text{.}\) Pour chaque \(f\in\L^p(\mu)\text{,}\) on définit
On note \(L^p(\mu)=\{\rbb f\lbb ,\ f\in \L^p(\mu)\}\text{.}\)
\(\leadsto\) \(\rbb f\lbb \) est la classe d'équivalence de \(f\) par rapport à la relation d'équivalence \(\sim\) définie sur \(\L^p(\mu)\) par
et \(L^p(\mu)\) est alors l'ensemble quotient \(\L^p(\mu)/\sim\) par cette relation.
Exercice 9.1.3. Propriétés un peu évidentes.
(a)
Montrer que, pour tout \(f\in\L^p(\mu)\text{,}\) \(f\in \rbb f\lbb \) (\(f\) est un représentant de \(\rbb f\lbb \)).
(b)
Montrer que \(h=g\) \(\mu\)-p.p \(\iff\) \(\rbb f\lbb =\rbb g\lbb \text{.}\)
Parmi les fonctions mesurables (borélienne) sur un intervalle \(I\subset \R\text{,}\) il y en a des particulièrement sympathiques: notamment, les fonctions continues.
\(\leadsto\) Quitte à grouper les fonctions par classes, on peut se demander si chaque classe contient une fonction continue. Si c'est le cas, il n'y en a qu'une, mais ce n'est pas toujours le cas:
Exercice 9.1.4.
(a)
Soit \(f\in \L^p(\mu)\text{.}\)
Montrer que s'il existe une fonction continue \(g\in \rbb f\lbb \text{,}\) alors elle est unique.
(b)
Montrer que \(f\) est borélienne, puis que \(f\in \L^p(\mu)\) pour tout \(p\geq 1\text{.}\)
(c)
Trouver un représentant continu de \(\rbb f\lbb \text{.}\)
(d)
Trouver une fonction \(f\) dans \(\L^p(\mu)\) telle que \(\rbb f\lbb \) n'admet pas de représentant continu.
Essayer avec une fonction du genre:
On va voir que \(L^p(\mu)\) est un espace vectoriel normé.
Mais du coup, pour obtenir un espace vectoriel, il faut préciser ce qu'on entend par la somme de deux classes de fonctions, et comment multiplier une classe de fonctions par 37.6.
Et pour qu'il soit normé, il faut définir dessus...une norme. Oui.
Si \(\alpha=\rbb f\lbb \) et \(\beta=\rbb g\lbb \) sont deux éléments de \(L^p(\mu)\text{,}\) alors \(f+g\in\L^p(\mu)\text{,}\) et il semble raisonnable de poser
Remarque 9.1.3.
Souvent, par abus de langage, on parlera de "fonction" \(f\in L^p(\mu)\text{,}\) bien que les éléments de \(L^p(\mu)\) ne soient, techniquement, pas des fonctions.
C'est très pratique, et ça ne change \(\mu\)-presque rien. Par contre, certaines opérations très naturelles avec des fonctions ne marchent pas avec ces "fonctions".
Notamment, on ne peut pas calculer la valeur en un point \(x_0\in X\) d'une "fonction" \(f\in L^p(\mu)\text{.}\) Autrement dit l'opération d'évaluation:
n'est pas bien définie.
...
C'est-à-dire ?
Par exemple, prenons la fonction
On aurait donc, a priori, \(ev_{1}(\rbb f\lbb )=f(1)=3\text{.}\)
Mais la fonction \(\tilde f:x\in\rbb 0,1\lbb \mapsto x^2\) est aussi un représentant de \(\rbb f\lbb \text{,}\) donc on aurait aussi \(ev_1(\rbb f\lbb )=\tilde f(1)=1\text{.}\) Or, il semble que \(1\neq3\text{...}\)
Cela dit, ce n'est pas leur valeur en des points spécifiques qui nous intéressent dans ces fonctions 1 .
\(\leadsto\) Il faut simplement garder en tête, lorqu'on parle de "fonction" \(L^p(\mu)\text{,}\) qu'on est aussi myope que la mesure \(\mu\) et qu'on ne voit pas la différence entre deux fonctions égales presque partout.
Vérifions que cela ne pose pas de problème pour la somme et la multiplication par un \(\lambda\text{:}\)
Exercice 9.1.5. Problème possible !
Et si \(\tilde f \in\alpha\text{,}\) \(\tilde g\in \beta\text{,}\) de façon à ce que \(\alpha=\rbb f\lbb =\rbb \tilde f\lbb , \beta=\rbb g\lbb =\rbb \tilde g\lbb \text{,}\) est-ce qu'on doit prendre
(a)
Montrer que dans ce cas on a \(\rbb f+g\lbb =\rbb \tilde f+\tilde g\lbb \) et \(\rbb \lambda f\lbb =\rbb \lambda \tilde f\lbb \text{.}\)
(b)
Expliquer pourquoi, du coup, tout va bien.
De même, il semble raisonnable de suggérer une norme définie par
où \(N_p\) a été définie plus haut par
Exercice 9.1.6. Deux problèmes possibles !
(a)
Tout d'abord, même problème que juste avant : si \(\tilde f \in\alpha\text{,}\) de façon à ce que \(\alpha=\rbb f\lbb =\rbb \tilde f\lbb , \beta=\rbb g\lbb =\rbb \tilde g\lbb \text{,}\) est-ce qu'on doit prendre
\(\leadsto\) Montrer que dans ce cas aussi, \(N_p(f) = N_p(\tilde f)\text{.}\)
(b)
On a aussi vu que \(N_p\) était non pas une norme, mais une semi-norme sur \(\L^p(\mu)\text{.}\) Il se pourrait donc qu'on ait toujours ce problème.
Montrer que ce n'est pas le cas: \(\|.\|\) est une vraie norme 100% pur jus sur \(L^p(\mu).\)
(c)
Prendre une minute pour regarder l'avenir avec optimisme.
Ce qui nous donne, en résumé:
Proposition 9.1.4.
L'opération \((\rbb f\lbb ,\rbb g\lbb )\in L^p(\mu)\times L^p(\mu) \mapsto \rbb f+g\lbb \in L^p(\mu)\) est bien définie.
L'opération \((\lambda,\rbb f\lbb )\in \R\times L^p(\mu) \mapsto \rbb \lambda f\lbb \in L^p(\mu)\) est bien définie.
-
Muni de ces opérations, l'ensemble \(L^p(\mu)\) est un espace vectoriel. Son vecteur nul est
\begin{equation*} \rbb 0\lbb =\{z\in\L^p(\mu), z=0\ \mu \text{-p.p. sur} X\} \end{equation*} -
L'opération
\begin{equation*} \rbb f\lbb \in L^p(\mu) \mapsto \|\rbb f\lbb \|_p= N_p(f)=\left(\int_X |f|^p d\mu \right)^\frac1p\in \R^+ \end{equation*}est aussi bien définie, et c'est une norme sur \(L^p(\mu)\text{,}\) ce qui résoud notre problème initial.