Probabilité, mesure, et intégration

Section 2.2 Propriétés de la mesure extérieure

La mesure extérieure vérifie-t-elle toutes les propriétés qu'on attend d'elle ? Reprenons notre liste de courses.

• Pour tout \(a\in\R\text{,}\) \(|\{a\}|=0\text{.}\) Ca, c'est fait: \(\checkmark\)

• Pour tous \(a,b\in\R\text{:}\)

  \begin{equation*} |\rbb a,b\lbb |=|\rbb a,b\rbb |=|\lbb a,b\lbb |=|\lbb a,b\rbb | = b-a \end{equation*}

  et

  \begin{equation*} |\lbb a,\infty\rbb| = |\rbb a,\infty\rbb|=|\lbb -\infty, a\rbb |=|\lbb -\infty, a\lbb| =+\infty \end{equation*}

  Fait aussi:\(\checkmark\)

  Il nous reste à vérifier

• Monotonie: Pour tous \(A, B\in \P(\R)\text{,}\) si \(A\subset B\) alors \(|A|\leq |B|\)

• Invariance par translation Pour tout \(A\subset \R\) et pour tout \(t\in\R\text{,}\) \(|A+t|=|A|\)

• Additivité Pour tous \(A, B\in \P(\R)\text{,}\) si \(A\cap B=\emptyset\) alors \(|A\cup B|= |A|+ |B|\text{.}\)

Pour commencer, la monotonie:

Exercice 2.2.1.

Indice.

Remarquer que toute famille d'intervalles dont l'union contient \(B\) contient aussi \(A\text{.}\)

Spoiler.

Soit \((I_n)_n\) une suite d'intervalles dont l'union contient \(B\text{.}\) Alors \(A\subset \bigcup_n I_n\text{,}\) donc \(|A|\leq \sum \ell(I_n)\text{.}\) Ceci étant vrai pour toute suite d'intervalles contenant \(B\text{,}\) on en déduit que \(|A|\leq |B|\text{,}\) comme annoncé.

Au suivant:

Autrement dit, le poids d'une partie de \(\mathbb R\) ne dépend pas d'"où" elle se trouve dans \(\mathbb R\text{.}\)

Exercice 2.2.2.

Indice.

Montrer que \(|t+A|\leq|A|\) et en déduire l'égalité, en remarquant qu'on peut aussi translater \(t+A\) pour retomber sur \(A\text{.}\)

Spoiler.

Soit \((I_n)_n\) une suite d'intervalles contenant \(A\text{.}\) Alors \(t+A \subset \bigcup (t+I_n)\) donc \(|t+A| \leq \sum_n \ell(t+I_n)\text{.}\) Or pour tout \(n\text{,}\) \(\ell(t+I_n) = \ell(I_n)\text{,}\) donc \(|t+A| \leq \sum \ell(I_n)\text{.}\) Ceci étant vrai pour toute suite d'intervalles contenant \(A\text{,}\) on a \(|t+A|\leq |A|\text{.}\)

Réciproquement, puisque \(A = -t+(t+A)\text{,}\) on a \(|A| \leq |t+A|\text{.}\)

La propriété suivante, appelée en jargon sous-additivité dénombrable (ou sous-\(\sigma\)-additivité), permet de majorer la mesure d'une union par la somme des mesures de ses composantes. Ce qui généralise l'observation suivante:

et

\(\leadsto\) l'inégalité vient du fait que l'intersection est "comptée deux fois". Et plus généralement:

Exercice 2.2.3.

Indice.

Remarquer que le seul cas intéressant est celui où tous les \(A_k\) ont une mesure extérieure finie.

De là, utiliser la définition de la borne inférieure: quel que soit \(k\in\N\) et \(\delta_k \lt 0\text{,}\) \(|A_k|+\delta_k\) n'est pas un majorant de

\begin{equation*} \left\{ \sum_n \ell(I_n),\, (I_n)_{n\in \mathbb N} \text{ intervalles t.q. } A_k \subset \bigcup_n I_n\right\}. \end{equation*}

Spoiler.

Si l'un des \(A_k\) est de mesure extérieure infinie, le résultat est immédiat (en utilisant la monotonie).

Supposons donc que pour tout \(k\text{,}\) \(|A_k|\) est fini. Soit \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) Par définition de la borne inférieure, il existe pour chaque \(k\) une famille dénombrable d'intervalles \((I_{j,k})_j\) telle que \(A_k \subset \bigcup I_{j,k}\) et

\begin{equation*} \sum_j \ell(I_{j,k}) \leq |A_k|+ \frac\varepsilon{2^k} \end{equation*}

Alors \((I_{j,k})_{j,k}\) est une famille dénombrable ¹ d'intervalles qui contient \(\bigcup_k A_k\) donc

\begin{equation*} \left|\bigcup_k A_k\right| \leq \sum_{j,k} \ell(I_{j,k}) \leq \varepsilon + \sum_k |A_k|. \end{equation*}

Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) on a bien l'inégalité requise.

On en redéduit:

La mesure extérieure semble donc un excellent candidat pour généraliser la longueur des intervalles. Comme disait Hubert:

"Jusqu'ici, tout va bien."