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Chapitre 10 Introduction aux espaces de Sobolev

On considère l'espace mesuré \((\rbb -1,1\lbb ,\mathscr B(\rbb -1,1\lbb ),\lambda)\) où \(\mathscr B(\rbb -1,1\lbb )\) est l'ensemble des boréliens de \(\rbb -1,1\lbb \) et \(\lambda\) est la mesure de Lebesgue.

On rappelle que sur l'ensemble

\begin{equation*} \mathcal L^2(\rbb -1,1\lbb ) = \left\{g \in \mathcal L^0(\rbb -1,1\lbb ), \int_{\rbb -1,1\lbb } g^2\, d\lambda\lt \infty \right\} \end{equation*}

on définit

\begin{equation*} N_2(g)=\left(\int_{\rbb -1,1\lbb } g^2\, d\lambda\right)^{\frac 12}. \end{equation*}

Soit \(g\in \mathcal L^2(\rbb -1,1\lbb )\text{.}\) Alors, \(g\) est intégrable sur \(\rbb -1,1\lbb \text{:}\)

Insérer preuve !

Mais alors, pour tout \(x\in \rbb -1,1\lbb \text{,}\) \(g\) est intégrable sur \(\rbb -1,x\lbb \subset \rbb -1,1\lbb \text{,}\) ce qui nous permet de définir la fonction:

\begin{equation*} f:x\in\rbb 0,1\lbb \mapsto \int_{\rbb -1,x\lbb } g\, d\lambda \end{equation*}

De plus, cette fonction est continue sur \(\rbb -1,1\lbb \text{:}\)

Insérer preuve !

On va s'intéresser à l'ensemble de toutes les fonctions qu'on peut obtenir ainsi:

\begin{equation*} H^1(\rbb -1,1\lbb )=\left\{f \in \mathscr C^0(\rbb -1,1\lbb ), f= \alpha + \int_{\rbb -1,x\lbb } g\, d\lambda,\ \text{ avec } \alpha\in\R, g \in \mathcal L^2(\rbb -1,1\lbb )\right\} \end{equation*}

Chaque fonction de \(H^1(\rbb -1,1\lbb )\) est donc donnée par un couple \((\alpha,g)\in\R\times L^2(\rbb -1,1\lbb )\text{.}\) Ce couple est "presque" unique, dans le sens où, si \(f\in E\) est donnée par deux couples \((\alpha,g)\) et par \((\tilde \alpha, \tilde g)\text{,}\) alors :

\begin{equation*} \begin{cases} \alpha=\tilde \alpha\\ g=\tilde g\ \lambda\text{-presque partout sur } \rbb -1,1\lbb \end{cases} \end{equation*}

Ce résultat est peu surprenant, et pourtant, il n'est pas si facile à prouver!

Pour ce dernier point, on remarquera que, pour tous \(x,y\in \rbb -1,1\lbb \text{,}\)

\begin{equation*} \int_{\rbb -1,1\lbb } (g-\tilde g)\mathbbm 1_{\rbb x,y\lbb } d \lambda =0. \end{equation*}

Insérer preuve !

De plus, si \(f\in E\) est \(\mathscr C^1\text{,}\) alors l'une des fonctions \(g\in \mathcal L^2(\rbb -1,1\lbb )\) correspondantes est \(f'\text{:}\)

Insérer preuve !

Par abus de langage, on dit donc parfois que, pour \(f\in E\text{,}\) les fonctions \(g\in \mathcal L^2(\rbb -1,1\lbb )\) correspondantes sont des dérivées "faibles" de \(f\text{.}\)

Par exemple, \(f(x)=|x|\) appartient à \(E\text{,}\) et une dérivée faible de \(f\) est donnée par la fonction

\begin{equation*} g(x)=\begin{cases} -1 \amp \text{ si } x \lt 0\\ 0 \amp \text{ si } x=0\\ 1 \amp \text{ si } x\gt 0 \end{cases} \end{equation*}

(mais ce n'est pas la seule !)

L'ensemble \(E\) est un espace vectoriel, et pour \(f\in E\text{,}\) l'application

\begin{equation*} N(f)=N_2(f)+N_2(g) \end{equation*}

où \(g\) est une dérivée faible de \(f\) est bien définie (autrement dit, elle ne dépend pas de quelle dérivée faible on choisit). De plus, elle définit une norme sur \(E\text{.}\)

Insérer preuve !

On utilise généralement une autre norme sur l'espace vectoriel \(\mathscr C^0(\rbb -1,1\lbb )\text{:}\) la norme \(\|f\|_\infty = \sup_{x\in\rbb -1,1\lbb } |f(x)|\text{.}\) On a l'inégalité suivante: il existe une constante \(C>0\) telle que, pour toute fonction \(f \in \mathscr C^0(\rbb -1,1\lbb )\text{,}\) on a

\begin{equation*} \|f\|_\infty \leq C N(f). \end{equation*}

Pour le montrer, on utilise le fait qu'il existe \(x_{\min}\in\rbb -1,1\lbb \) tel que, pour tout \(x\in \rbb -1,1\lbb \text{,}\) \(f(x)\geq f(x_{min})\text{.}\) De là, on remarque que, pour tout \(x\in\rbb -1,1\lbb \text{,}\) on peut écrire \(f(x)\) sous la forme

\begin{equation*} f(x)=f(x_{\min})+ \int_{\rbb x_{\min},x\lbb } g\, d \lambda=\dfrac12 \int_{\rbb -1,1\lbb }f(x_{\min})\, d \lambda + \int_{\rbb x_{\min},x\lbb } g\, d \lambda, \end{equation*}

où \(g\) est une dérivée faible de \(f\text{.}\)

Insérer preuve !

Cette inégalité permet de démontrer que l'espace vectoriel \(E\) est complet. C'est donc un espace de Banach.

en procédant comme ici: \url{http://carolinevernier.website/pretext_exemples_banach/ex8p32.html}

Insérer preuve !

En fait, c'est encore mieux: pour \(f_1,f_2 \in E\text{,}\) posons

\begin{equation*} \langle f_1,f_2\rangle = \int_{\rbb -1,1\lbb } f_1f_2\, d \lambda + \int_{\rbb -1,1\lbb } g_1g_2\, d \lambda \end{equation*}

où \(g_1,g_2\) sont des dérivées faibles de \(f_1\) et \(f_2\) respectivement. A nouveau, on vérifie que cette application est bien définie sur \(E\times E\text{,}\) et c'est un produit scalaire sur \(E\text{.}\) La norme associée est \(N\text{,}\) et \(E\) est donc un espace de Hilbert.