Probabilité, mesure, et intégration

Section 4.3 Mesure de Borel sur \((\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))\)

On dispose maintenant du cadre nécessaire pour régler notre problème de la Section 2.3. Plus précisément, on va montrer que la mesure extérieure, restreinte aux boréliens de \(\mathbb R\), définit bien une mesure sur \(\mathbb R\text{.}\) En particulier, elle vérifie l'additivité.

On sait déjà que la mesure extérieure a quelques propriétés sympathiques:

• \(|\emptyset|=0\text{;}\)

• Pour tout \(A\subset \R\text{,}\) pour tout \(t\in\R\text{,}\) le translaté \(A+t=\{a+t,a\in A\}\) a la même mesure que \(A\text{:}\) \(|.|\) est invariante par translation;

• Pour tout intervalle \(I\subset\R\text{,}\) \(|I|=\ell(I)\text{:}\) \(|.|\) généralise la longueur des intervalles.

Pour faire notre bonheur, il suffit donc que la mesure extérieure soit \(\sigma\)-additive sur la tribu des boréliens.

C'est ce qu'on va faire ici: ensuite, on montrera que la mesure obtenue est la seule qui fasse le café, à la Section 4.4.

Le plan de bataille est le suivant:

On veut obtenir que, si \((A_n)_n\) est une suite de boréliens deux à deux disjoints, alors

On va commencer doucement: avant de montrer l'additivité sur des familels dénombrables, on va la montrer sur des familles finies.

Très finies.

Disons à deux élements. On va commencer par montrer que, si \(A,B\in\B(\R)\) vérifient \(A\cap B = \emptyset\text{,}\) alors

Et pour cela, on introduit l'ensemble

Le but du jeu est donc de montrer que \(\B(\R)\subset \T\text{.}\) On va faire ça progressivement:

Exercice 4.3.3 Etape 3: les boréliens, c'est presque des fermé.

On l'a vu à la Section 3.4, il n'est pas facile de passer des ouverts aux boréliens, car tous les boréliens ne sont pas des unions d'ouverts, ni même dest intersections d'unions de complémentaire d'unions d'ouverts.

Et ça nous bloque un peu dans notre entre prise de fourrer le plus d'ensembles possibles dans \(\T\text{:}\) on a montré que \(\T\) contient les ouverts...et maintenant ?

Pour négocier cette transition, on va appliquer une méthode si classique que c'est le titre du livre d'Analyse¹ de Terrence Tao: on va se donner un \(\varepsilon\) de place pour manoeuvrer, puis on se débarassera de ce \(\varepsilon\) en le faisant impitoyablement tendre vers 0.

On va montrer que, même si tous les boréliens ne sont clairement pas des ouverts, ou des fermés, on peut toujours "approximer de l'intérieur" un borélien \(B\) par un fermé \(F\text{,}\) dans le sens où

\begin{equation*} F \subset B,\quad |B\setminus F| \lt \varepsilon \end{equation*}

1.

On introduit l'ensemble des sous-ensembles de \(\R\) qui sont approximables par des ouverts:

\begin{equation*} \mathcal L= \{D\in\mathcal P(\mathbb R), \forall\varepsilon>0,\ \exists F\subset D \text{ fermé t.q. } |D\setminus F|\lt \varepsilon\} \end{equation*}

Le but est de montrer que tous les boréliens sont dans \(\mathcal L\text{.}\)

Justifier que, pour ça:

• il suffit qu'on montre que \(\mathcal L\) est une tribu;

• et, pour ça, il suffit qu'on montre que \(\mathcal L \) est stable par intersection dénombrable et par passage au complémentaire, autrement dit:

  \begin{equation*} \forall (D_n)_n \in \mathcal L^\N, \bigcap_{n\in \N} D_n \in \mathcal L,\quad \forall D\in \mathcal L, D^c \in \mathcal L \end{equation*}

Spoiler.

2.

Intersection dénombrable Soit \((D_n)_n \in \mathcal L^\N\) et \(\varepsilon \gt 0\text{.}\) On cherche un fermé \(F\) tel que

\begin{equation*} \left| \left(\bigcup_n D_n\right) \setminus F\right|\lt \varepsilon \end{equation*}

Trouver d'abord une suite de fermés \((F_n)_n\) telle que

\begin{equation*} \left|\bigcup_n (D_n\setminus F_n) \right|\lt \varepsilon \end{equation*}

Puis en déduire un \(F\) qui marche.

Spoiler.

3.

Complémentaire Soit \(D\in\mathcal L\text{;}\) suppososn dans un premier temps que \(|D|\lt\\infty\text{.}\) On cherche donc un fermé \(F\) tel que

\begin{equation*} F\subset D^c, \quad |D^c \setminus F|\lt \varepsilon \end{equation*}

Commencer par trouver un ouvert \(U\) tel que

\begin{equation*} D\subset U,\quad |U|\lt |D| + \frac{\varepsilon}2 \end{equation*}

En déduire un fermé \(F\) qui marche.

Spoiler.

4.

Il nous reste le cas où \(D\in\mathcal L\) et \(|D|=\\infty\text{.}\)

Justifier que dans ce cas, pour tout \(k\in\N\text{,}\) \(D_k=D\cap \rbb -k,k\lbb \in \mathcal L\text{.}\)

Justifier que \(D_k^c\in\mathcal L\) et, de là, que \(D^c \in\mathcal L\text{.}\)

Indice.

Utiliser le cas précédent, et la stabilité de \(\mathcal L\) par intersection dénombrable.

Spoiler.

5.

Conclure approximativement.

Ce qui termine (presque !) la preuve de:

Il ne nous reste qu'à montrer l'unicité: autrement dit que si \(\mu_1,\mu_2\) sont deux mesures sur \((\R,\B(\R))\) telles que

• \(\mu_1(\lbb a,b\rbb) = b-a = \mu_1(\lbb a,b\rbb)\) pour tous réels \(a,b\text{;}\)

• Pour tout borélien \(A\text{,}\) pour tout \(t\in\R\text{,}\) \(\mu_1(A+t) = \mu_1(A)\) et \(\mu_2(A+t) = \mu_2(A)\)

on a, pour tout \(A\in \B(\R)\text{,}\)

Mais des boréliens, il y en a beaucoup. Vraiment beaucoup.

On va donc reprendre notre souffle et on se posera cette question demain. Enfin, à la section suivante.

Une fois qu'on aura vérifié qu'elle est unique, la mesure de Borel répond donc à toutes nos exigences: on garde les bonnes propriétés de la mesure extérieure, et on gagne l'additivité (et l'unicité: il n'y a pas trente-six bonnes façons de mesurer).

On va donc pouvoir avancer vers une notion d'intégrale liée à cette mesure: rappelons que le but de tout ceci était d'intégrer des fonctions en découpant, non pas par sous-intervalles sur l'espace de départ, mais sur l'espace d'arrivée, de façon à tenir compte des spécificités de \(f\text{:}\)

La restriction aux boréliens signifie, en revanche, qu'on ne peut pas intégrer toutes les fonctions: il faut que \(f^{-1}(\rbb y_i,y_{i+1}\lbb )\) soit mesurable. L'objet du prochain chapitre sera de départager les fonctions qui vérifient cette propriété.

Mais avant cela, vérifions qu'on ne peut pas tirer un peu plus sur la corde, c'est-à-dire mesurer encore plus d'ensembles avec notre mesure de Borel toute neuve. Ce sera l'occasion de croiser quelques phénomènes de foire parmi les sous-ensembles de \(\mathbb R\text{.}\)