Intégrales multiples et mesure produit

Chapitre 8 Intégrales multiples et mesure produit

Quand on fait du calcul intégral, il n'est pas rare de calculer des intégrales de fonctions à plusieurs variables (par exemple définies sur un sous-ensemble de \(\R^{n}\)).

Dans le cadre des bonnes vieilles intégrales multiples à la Riemann, que vous connaissez déjà, un résultat particulièrement utile dans ce cas, dit la chose suivante:

Théorème 8.0.1.

Soit \(f:\rbb a,b\lbb \times\rbb c,d\lbb \rightarrow\R\) une fonction continue. Alors, la fonction

\begin{equation*} \phi:y\in\rbb c,d\lbb \mapsto\int_{a}^{b}f(x,y)dx \end{equation*}

est continue, donc intégrable sur \(\rbb c,d\lbb \text{:}\) on peut donc définir

\begin{equation*} \int_{c}^{d}\phi(y)dy=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy. \end{equation*}

D'un autre côté, la fonction

\begin{equation*} \psi:x\in\rbb a,b\lbb \mapsto\int_{c}^{d}f(x,y)dy \end{equation*}

est également continue, donc intégrable, ce qui donne

\begin{equation*} \int_{a}^{b}\psi(y)dy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx. \end{equation*}

Et le miracle qui passe inaperçu, c'est qu'on a:

\begin{equation*} \int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f(x,y)dx\right)dy=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f(x,y)dy\right)dx \end{equation*}

et on peut donc noter ce nombre \(\boxed{\iint_{R}f(x,y)dxdy}\text{,}\) où \(R=\rbb a,b\lbb \times\rbb c,d\lbb \text{:}\) c'est l'intégrale de la fonction à deux variables \(f\) sur le rectangle \(R\text{.}\)

Pour revoir les intégrales de Riemann multiples: par ici !¹

Et le thème de ce cours, c'est que quand on a un résultat valide sur les fonctions continues Riemann-intégrables sur des segments, on les généralise à grands coups de théorie de la mesure.