Probabilité, mesure, et intégration

Vérifions les trois propriétés des tribus.

1. Puisque \(\Lambda\) est stable par différence, \(\emptyset=X\setminus X\in\Lambda\text{.}\)

2. Puisque \(X\in \Lambda\text{,}\) et puisque \(\Lambda\) est stable par différence, en particulier \(\Lambda\) est stable par complémentaire: pour tout \(A\in \Lambda\text{,}\) \(A^c=X\setminus A\in \Lambda\text{.}\)

3. Montrons maintenant que \(\Lambda\) est stable par union dénombrable. Soit \((A_n)_n\in \Lambda^\mathbb N\) une famille dénombrable d'éléments de \(\Lambda\text{.}\) Pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\) posons

   \begin{equation*} B_n=\bigcup_{k=0}^n A_k \end{equation*}

   Alors \(B_n^c= \bigcap_{k=0}^n A_k^c\in \Lambda\text{,}\) puisque \(\Lambda\) est stable par passage au complémentaire et par intersection finie. Donc \(B_n=(B_n^c)^c \in \Lambda\text{.}\) De plus, \(B_n\subset B_{n+1}\) pour tout \(n\in \mathbb N\text{,}\) donc

   \begin{equation*} \bigcup_{n\geq 0}A_n=\bigcup_{n\geq 0}B_n \in \Lambda. \end{equation*}

On procède par double inclusion.

\(\boxed{\subset}\) Remarquons que toute tribu est un \(\lambda\)-système, donc une tribu qui contient \(\mathscr F\) est en particulier un \(\lambda\)-système qui contient \(\mathscr F\text{,}\) donc:

\(\boxed{\supset}\) Reste à montrer l'inclusion réciproque. Par définition de \(\sigma(\mathscr F)\text{,}\) il suffit de montrer que \(\lambda(\mathscr F)\) est une tribu qui contient \(\mathscr F\text{.}\) Or, d'après la proposition précédente, il suffit pour cela d'établir que \(\lambda(\mathscr F)\) est stable par intersection finie.

Soit \(E\in \mathscr F\text{,}\) on considère la sous-famille des éléments de \(\Lambda\) sont l'intersection avec \(E\) est encore dans \(\Lambda\text{:}\)

Alors \(\Lambda_E\) est un \(\lambda\)-système qui contient \(\mathscr F\text{:}\)

1. \(X\cap E= E \in \Lambda(\mathscr F)\text{,}\) donc \(X \in \Lambda_E\text{.}\)

2. Si \(A,B\) sont dans \(\Lambda_E\text{,}\) avec \(A \subset B\text{,}\) alors \((B\setminus A)\cap E=(B\cap E)\setminus(A \cap E)\) est la différence de deux éléments de \(\Lambda(\mathscr F)\text{,}\) donc \((B\setminus A)\cap E\in \Lambda(\mathscr F)\text{,}\) donc \(B\setminus A \in \Lambda_E\text{.}\)

3. Soit \((A_n)_n\) une suite croissante d'éléments de \(\Lambda_E\text{.}\) Alors, puisque \(\Lambda(\mathscr F)\) est stable par union croissante,

   \begin{equation*} E\cap \left(\bigcup_n A_n\right)= \bigcup_n (E\cap A_n)\in \Lambda(\mathscr F) \end{equation*}

   donc l'union des \(A_n\) est bien dans \(\Lambda_E\text{.}\)

4. Enfin, puisque \(\mathscr F\) est stable par intersection finie, on a, pour tout \(F\in \mathscr F\text{,}\) \(F\cap E \in \mathscr F \subset \Lambda(\mathscr F)\text{,}\) donc \(F\in \Lambda_E\text{.}\)

On en déduit que \(\Lambda_E= \Lambda(\mathscr F)\text{,}\) autrement dit

En utilisant ceci, on montre de même que, pour tout \(B\in \Lambda(\mathscr F)\text{,}\) la famille

est un \(\lambda\)-système qui contient \(\mathscr F\text{,}\) donc \(\Lambda_B=\Lambda(\mathscr F)\text{.}\) Autrement dit,

donc \(\Lambda(\mathscr F)\) est stable par intersection finie. C'est donc une tribu, qui de plus contient \(\mathscr F\text{,}\) d'où \(\sigma(\mathscr F)\subset \Lambda(\mathscr F)\text{.}\)

Supposons d'abord que \(\mu\) et \(\nu\) sont deux mesures finies. Considérons la famille

Alors, par hypothèse, \(\mathscr F\subset L\text{.}\) De plus, \(L\) est un \(\lambda\)-système:

1. Puisque \(X\in \mathscr F\text{,}\) on a \(\mu(X)=\nu(X)\text{,}\) donc \(X\in L\text{.}\)

2. Soient \(A,B\) deux éléments de \(L\) tels que \(A\subset B\text{.}\) Alors \(\mu(A)=\nu(A) \lt \infty\text{,}\) \(\mu(B)=\nu(B)\lt \infty\text{,}\) puisque \(\mu\) et \(\nu\) sont supposées finies. On a donc

   \begin{equation*} \mu(B\setminus A)= \mu(B)-\mu(A)=\nu(B)-\nu(A)=\nu(B\setminus A), \end{equation*}

   donc \(B\setminus A \in L\text{.}\)

3. Soit \((A_n)_n\) une suite croissante d'éléments de \(L\text{.}\) Alors

   \begin{equation*} \mu\left(\bigcup_n A_n\right)= \lim_{n\rightarrow\infty} \mu(A_n)= \lim_{n\rightarrow\infty} \nu(A_n) = \nu\left(\bigcup_n A_n\right) \end{equation*}

   donc \(\bigcup_n A_n \in L\text{.}\)

On en déduit que \(\lambda(\mathscr F)\subset L\text{.}\) De plus, par la proposition Proposition 4.4.6, on a \(\lambda(\mathscr F)=\sigma(\mathscr F)=\mathscr T\text{,}\) donc \(\mathscr T \subset L\text{:}\) pour tout \(A\in \mathscr T\text{,}\) \(\mu(A)=\nu(A)\text{.}\)

Pour \(n\in \mathbb N\text{,}\) on définit deux mesures finies \(\mu_n\) et \(\nu_n\) sur \((X,\mathscr T)\) par \(\mu_n: A\in \mathscr T \mapsto \mu(A\cap E_n)\) et \(\nu_n:A\in\mathscr T\mapsto \nu(A\cap E_n)\text{.}\)

Alors, pour tout \(A\in \mathscr F\text{,}\) \(\mu_n(A)=\nu_n(A)\text{.}\) Puisque la famille \(\mathscr F\) vérifie les hypothèses du corollaire précédent, on en déduit que \(\mu_n=\nu_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\text{.}\)

Or, pour tout \(A\in T\text{,}\) la propriété sur les unions croissantes (Proposition 4.1.7) donne

donc on a bien \(\mu=\nu\text{.}\)

Notons \(\mathscr I\) la famille de tous les intervalles de \(\mathbb R\text{.}\) Alors

1. \(\mathscr I\subset \mathscr B(\mathbb R)\text{;}\)

2. \(\mathbb R\in \mathscr I\) et \(\mathscr I\) est stable par intersection finie;

3. La famille \(\mathscr I\) engendre \(\mathscr B(\mathbb R)\text{:}\) \(\sigma(\mathscr I)=\mathscr B(\mathbb R)\text{.}\)

Supposons maintenant qu'il existe deux mesures \(\mu\) et \(\mu'\) sur \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\text{,}\) invariantes par translation et généralisant la longueur des intervalles: pour tout \(I\in \mathscr I, \mu(I)=\ell(I)=\mu'(I)\text{.}\)

Pour \(n\in\mathbb N\text{,}\) posons \(I_n=\rbb -n,n\lbb \in \mathscr I\text{.}\) Alors, pour tout \(n\in\mathbb N\) \(I_n\subset I_{n+1}\text{,}\) \(\mu(I_n)=\mu'(I_n)=2n\lt \infty\) et \(\mathbb R= \bigcup_n I_n\text{.}\)

On peut donc appliquer la corollaire Corollaire 4.4.8, ce qui donne \(\mu=\mu'\text{.}\)