Cas 2: Si L n'est pas inversible.

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Section 11.5 Cas 2: Si \(L\) n'est pas inversible.

On n'est pas sortis des bois ! Il y a aussi, hélas, des applications linéaires qui ne sont pas inversibles.

La bonne nouvelle, c'est que ce cas-là est plutôt rapide.

Soit donc \(L:\R^n \rightarrow \R^n\) un endomorphisme représenté dans la base canonique par une matrice \(\rbb L\lbb _{\mathcal B_0}\) non inversible.

Exercice Exercice

Dans ce cas, \(\det(L)=0\) donc ce qu'on essaie donc de montrer, c'est que pour tout borélien \(B\in\B(\R^n)\text{,}\)

\begin{equation*} \mu_n(L(B))=0 \end{equation*}

1.

Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel \(F\subset \R^n\) tel que \(\dim F = k \lt n\) et \(L(B)\subset F\text{.}\)

2.

Montrer qu'il existe un isomorphisme linéaire \(\varphi:\R^n\rightarrow\R^n\) tel que \(\varphi(F)=\R^k \times \{0_{\R^{n-k}}\}\text{.}\)

3.

Montrer que \(\mu_n(\R^k \times \{0_{\R^{n-k}}\}) = 0\text{.}\) En déduire que \(\mu_n(F)=0\text{.}\)

4.

Conclure: justifier que du coup, \(\mu_n(L(B))=0\text{,}\) comme prévu.