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Section 7.2 Intégrale des fonctions mesurables positives

En s'inspirant du procédé de construction de l'intégrale de Riemann, on pose la définition suivante:

Définition 7.2.1.

Soit \(\mu\) une mesure sur \((X,\mathscr T)\text{.}\)

  • Soit \(f:(X,\mathscr T)\rightarrow (\rbb 0,+\infty\lbb , \mathscr B(\rbb 0,+\infty\lbb ))\) une fonction mesurable positive, et \(P=\{A_1,\ldots,A_n\}\) une PMF de \((X,\mathscr T)\text{.}\) La somme inférieure de Lebesgue associée est définie par:

    \begin{equation*} \mathscr L(f,P)=\sum_{i=1}^n \inf_{A_i}(f) \mu(A_i). \end{equation*}

  • L'intégrale de \(f\) par rapport à \(\mu\) est définie par

    \begin{equation*} \int_X f d\mu = \sup\{\mathscr L(f,P), P \in PMF(X,\mathscr T)\} \end{equation*}

  • Pour tout \(E\in \mathscr T\text{,}\) \(\mathbb 1_E f\) est mesurable positive, et on note

    \begin{equation*} \int_E fd \mu := \int_X \mathbb 1_E fd\mu \end{equation*}

De cette définition, on déduit aisément:

Soit \(P=\{A_1,\ldots,A_n\}\) une PMF de \((X,\mathscr T)\text{.}\) Alors, pour tout \(i\text{,}\)

\begin{equation*} \inf_{A_i}f\leq\inf_{A_i}g \end{equation*}

donc

\begin{equation*} \mathscr L(f,P)\leq \mathscr L(g,P)\leq \int_X g d\mu \end{equation*}

D'où le résultat, en passant au sup sur \(P\) dans le membre de gauche (ce qui est licite car le membre de droite, \(\int_X g d\mu\text{,}\) ne dépend plus de \(P\)).

Pour une fonction en escaliers, on a donc deux définitions différentes de l'intégrale: celle-ci, et celle de la section Section 7.1. Vérifions qu'elles sont compatibles:

Soit \(e=\sum_{i=1}^n \alpha_i \mathbb{1}_{A_i}\) une fonction étagée, où les \(A_i\) sont disjoints. Montrer que

\begin{equation*} \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu(A_i)= \sup\{\mathscr L(e,P), P \in PMF(X,\mathscr T)\}. \end{equation*}
Indice.

Commençons par une simple fonction indicatrice: soit \(E\in\mathscr T\text{,}\) alors \(P=\{E,X\setminus E\}\) est une PMF de \((X,\mathscr T)\text{,}\) et on a

\begin{equation*} \mathscr L(\mathbb 1_E, P)=\mu(E) \end{equation*}

donc, par passage au sup, \(\int_X \mathbb{1}_E \geq \mu(E)\text{.}\)

Réciproquement, soit \(P=\{A_1,\ldots,A_n\}\) une PMF de \((X,\mathscr T)\text{.}\) Alors, pour chaque \(i\text{,}\)

\begin{equation*} \mu(A_i)\inf_{A_i} \mathbb 1_E= \begin{cases} \mu(A_i) \text{ si } A_i\subset E\\ 0 \text{ sinon.} \end{cases} \end{equation*}

Donc

\begin{equation*} \mathscr L(\mathbb 1_E, P)=\sum_{i|A_i\subset E}\mu(A_i)=\mu\left(\bigcup_{i|A_i\subset E}A_i\right)\leq \mu(E) \end{equation*}

d'où, par passage au sup, \(\int_X \mathbb 1_E d\mu \leq \mu(E)\text{.}\)

Spoiler.
On procède par double inégalité.

  • \(\boxed{\geq}\) Quitte à ajouter \(A_{n+1}=X\setminus \cup_{i=1}^n A_i,\alpha_{n+1}=0\text{,}\) on peut supposer que les \(A_i\) constituent une PMF \(P\) de \((X,\mathscr T)\text{.}\) Dans ce cas,

    \begin{equation*} \mathscr L(e,P)=\sum_{i=1}^n \mu(A_i) \end{equation*}

    donc, par passage au sup, \(\int_X f d\mu \geq =\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\text{.}\)

  • \(\boxed{\leq}\) Réciproquement, soit \(P=\{B_1,\ldots,B_m\}\) une PMF \(P\) de \((X,\mathscr T)\text{.}\) Alors:

    \begin{align*} \mathscr L(e,P)\amp =\sum_{j=1}^m \mu(B_j)\min\{\alpha_k, k\text{ tq }A_k\cap B_j\neq \emptyset\}\\ \amp =\sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n \mu(B_j\cap A_i) \min\{\alpha_k, k\text{ tq }A_k\cap B_j\neq \emptyset\}\\ \amp \leq \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n \mu(B_j\cap A_i) \alpha_i= \sum_{i=1}^n\alpha_i\sum_{j=1}^m \mu(B_j\cap A_i) \\ \amp \leq \sum_{i=1}^n\alpha_i \mu(A_i) \end{align*}

    d'où, par passage au sup, \(\int_X f d\mu \leq =\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\text{.}\)

Ainsi, dans la définition Définition 7.2.1, la PMF \(P\) fournit une approximation de \(f\) "par en dessous", par la fonction étagée \(f_P= \sum_{i=1}^n \inf_{A_i}(f) \mathbb{1}_{A_i}\text{.}\) C'est similaire à la définition de \(I^-(f)\) dans la section [cross-reference to target(s) "sec_riem_constr" missing or not unique]. Dans cet ordre d'idée, on a une formule alternative:

Soit \(f\) une fonction mesurable positive. Alors

\begin{equation*} \int_X fd\mu = \sup\left\{\int_X e d\mu,e\in\mathscr E^+(X,\mathscr T) \text{ tq } e\leq f\right\} \end{equation*}
Spoiler.

On procède une fois encore par double inégalité.

  • \(\boxed{\geq}\) découle de la propriété de monotonie de l'intégrale.

  • \(\boxed{\leq}\) Supposons d'abord que, pour tout \(A\) tel que \(\mu(A)\gt 0\text{,}\) \(\inf_A (f) \lt \infty\text{.}\) Soit \(P=\{A_1,\ldots,A_n\}\) une PMF de \((X,\mathscr T)\text{.}\) Alors

    \begin{equation*} \mathscr L(f,P)=\int_X (\sum_i (\inf_{A_i}f)\mathbb{1}_{A_i})d\mu \end{equation*}

    Or, \(e=\sum_i (\inf_{A_i}f)\mathbb{1}_{A_i}\) est une fonction de \(\mathscr E^+(X,\mathscr T)\) telle que \(e\leq f\text{.}\) On en déduit que

    \begin{equation*} \mathscr L(f,P)\leq \sup\left\{\int_X e d\mu,e\in\mathscr E^+(X,\mathscr T) \text{ tq } e\leq f\right\}, \end{equation*}

    d'où le résultat, par passage au sup sur toutes les PMF \(P\) (remarquons que le membre de droite ne dépend plus de \(P\text{,}\) ce qui rend cette opération licite).

    Reste à traiter le cas où il existe \(A\in\mathscr T\text{,}\) \(\mu(A)\gt 0\text{,}\) tel que \(\inf_A f =\infty\text{.}\) Alors, pour tout \(t\gt0\text{,}\) la fonction étagée \(t\mathbb{1}_A\) est majorée par \(f\text{,}\) donc

    \begin{equation*} \sup\left\{\int_X e d\mu,e\in\mathscr E^+(X,\mathscr T) \text{ tq } e\leq f\right\}\geq \int_X t\mathbb{1}_A d\mu=t\mu(A). \end{equation*}

    Ceci étant vrai pour tout \(t\gt 0\text{,}\) on en déduit que le membre de gauche est en fait infini, et donc supérieur ou égal à \(\int_Xf d\mu\text{.}\)

Exercice 7.2.1. Approximation de \(f\) "par au-dessus".

On est en droit de se demander si on aurait plutôt pu utiliser un équivalent de \(I^+(f)\text{.}\) De fait, ça marche, mais pour les fonctions bornées et si la mesure \(\mu\) est finie:

(a)

Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré tel que \(\mu(X)\lt\infty\text{.}\) Soit \(f\) une fonction mesurable positive bornée. Montrer que

\begin{equation*} \int_X f d\mu = \inf\left\{\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\sup_{A_i}(f), \{A_1,\ldots,A_n\}\in PMF(X,\mathscr T)\right\}. \end{equation*}
Indice.

Remarquer que, si \(f(x)\leq M\)pour tout \(x\in X\text{,}\) alors, pour \(A\subset X\text{,}\)

\begin{equation*} \inf_{A}(M-f)=M-\sup_A(f). \end{equation*}
Spoiler.

Conformément à l'indication, puisque \(f\) est bornée, il existe \(M\gt 0\) tel que \(f\leq M\text{.}\) Soit maintenant \(\{A_1,\ldots,A_n\}\in PMF(X,\mathscr T)\text{.}\) Alors on a:

\begin{align*} \sum_i \mu(A_i)\inf_{A_i}(M-f) \amp =\sum_i\mu(A_i)(M-\sup_{A_i}(f))\\ \amp=M\mu(X)-\sum_i\mu(A_i)\sup_{A_i}(f) \end{align*}

donc, par passage au sup sur toutes les subdivisions \(\{A_1,\ldots,A_n\}\in PMF(X,\mathscr T)\)

\begin{equation*} \sup\left\{\sum_{i=1}^n \inf_{A_i}(M-f) \mu(A_i)\right\} =M\mu(X)-\inf\left\{\sum_{i=1}^n \sup_{A_i}(f) \mu(A_i)\right\} \end{equation*}

autrement dit,

\begin{equation*} \int_X (M-f) d\mu = M\mu(X)- \inf\left\{\sum_{i=1}^n \mu(A_i)\sup_{A_i}(f)\right\} \end{equation*}

En admettant pour le moment la linéarité de l'intégrale, qui sera démontrée un peu plus tard, on peut alors simplifier les \(M\mu(X)\) et conclure.

(b)

Montrer que ce résultat ne se maintient pas si la mesure n'est pas finie.

Indice.

Considérer la fonction \(f(x)=\frac1{x^2}\) sur \((\rbb 1,+\infty\rbb , \mathscr B(\rbb 1,+\infty\rbb ),\lambda)\) où \(\lambda\) est la mesure de Lebesgue.

(c)

Montrer que ce résultat ne se maintient pas si on suppose que \(f\) n'est pas bornée.

Indice.

Considérer la fonction \(f(x)=\frac1{\sqrt{x}}\) sur \((\rbb 0,1\lbb , \mathscr B(\rbb 0,1\lbb ),\lambda)\) où \(\lambda\) est la mesure de Lebesgue.

Notre construction fonctionne donc mieux en approchant \(f\) "par en dessous"; ce n'est pas étonnant, car dans le cas de fonctions réelles positives, l'inf de \(f\) sur tout ensemble mesurable nous donne un réel, ce qui évite les aberrations.

Toutefois, cette définition bardée d'inf et de sup est peu maniable. Pour démontrer plus aisément les propriétés essentielles de notre nouvelle intégrale, et vérifier qu'elle fait le café, on va la réexprimer à l'aide de la recette "approximation-passage à la limite". Le théorème qui fait tout marcher....

...se trouve à la page suivante.