Probabilité, mesure, et intégration

\(\bullet\) Montrons que \(\mathscr T^*\) est une tribu sur \(X\text{.}\) On commence par écrire les éléments de \(\mathscr T^*\) dans un format plus maniable: on va montrer que

On procède par double inclusion:

\(\boxed{\subset}\) Soit \(E\in \mathscr T^*\text{.}\) Alors il existe un ensemble mesurable \(A\) et un ensemble négligeable \(N\) tels que \(E=A\cup N\text{.}\) De plus, puisque \(N\in\mathscr N(\mu)\text{,}\) il existe \(C\in\mathscr T\) tel que \(N\subset C\) et \(\mu(C)=0\text{.}\) Alors \(B=A\cup C \in \mathscr T\) est mesurable, et on a bien \(A,B\in \mathscr T\text{,}\) \(A\subset E\subset B\) et \(\mu(B\setminus A)=\mu(C)=0\text{.}\)

\(\boxed{\supset}\) Soit \(E\subset X\) tel qu'il existe \(A,B\in \mathscr T\text{,}\) \(A\subset E \subset B\) et \(\mu(B\setminus A)=0\text{.}\) Posons \(N=E\setminus A\text{,}\) alors \(N\subset B\setminus A\text{,}\) donc \(N\in \mathscr N(\mu)\) et \(E= A\cup N\text{,}\) donc \(E\in \mathscr T^*\text{.}\)

Montrons maintenant que \(\mathscr T^*\) est une tribu:

• On a, quelque peu trivialement, \(\emptyset\subset\emptyset\subset\emptyset\text{,}\) avec \(\emptyset\in \mathscr T\) et \(\mu(\emptyset\setminus\emptyset)=0\text{.}\) Donc, \(\emptyset \in \mathscr T^*\text{.}\) Yep.

  Plus généralement, pour tout \(A\in \mathscr T\text{,}\) on a \(A\subset A\subset A\text{,}\) avec, eh bien, \(A \in \mathscr T\) et \(\mu(A\setminus A)=\mu(\emptyset)=0\text{,}\) donc \(A\in \mathscr T^*\text{.}\) Donc \(\mathscr T^*\) contient \(\mathscr T\text{.}\)

• Soit \(E\in \mathscr T^*\text{,}\) montrons que \(E^c\in\mathscr T^*\text{.}\) Puisque \(E\in\mathscr T^*\text{,}\) il existe \(A,B\in\mathscr T\) tels que \(A\subset E\subset B\) et \(\mu(B\setminus A)=0\text{.}\)

  Mais alors \(B^c\subset E^c\subset A^c\text{,}\) avec \(B^c,A^c \in \mathscr T\) et \(\mu(A^c\setminus B^c)=\mu(A^c \cap (B^c)^c)=\mu(B\cap A^c)=\mu(B\setminus A)=0\text{.}\) Donc \(E^c\in\mathscr T^*\text{.}\)

• Soit \((E_n)_n\) une famille dénombrable de \(\mathscr T^*\text{.}\) Alors, pour tout \(n\in\mathbb N,\) il existe \(A_n,B_n \in \mathscr T\) tels que \(A_n\subset E_n \subset B_n\) et \(\mu(B_n\setminus A_n)=0\text{.}\) On a donc \(\bigcup_n A_n \subset \bigcup_n E_n \subset \bigcup_n B_n\) et

  \begin{align*} \left(\bigcup B_n\right) \setminus \left(\bigcup A_n\right)\amp=\left(\bigcup B_n\right) \cap \left(\bigcup A_n\right)^c \\ \amp=\left(\bigcup B_n\right) \cap \left(\bigcap A_n^c\right)\\ \amp \subset \bigcup (B_n\cap A_n^c)=\bigcup(B_n\setminus A_n) \end{align*}

  donc \(\mu \left(\bigcup B_n\right) \setminus \left(\bigcup A_n\right)\leq \sum \mu(B_n\setminus A_n)=0\text{.}\) On en déduit que \(\bigcup E_n \in T^*\text{.}\)

\(\bullet\) Attaquons-nous maintenant à \(\mu^*\text{.}\) On vérifie d'abord que la définition est cohérente, autrement dit, pour un ensemble donné \(E\in \mathscr T^*\text{,}\) on obtient le même résultat \(\mu(E)\) quelle que soit la décomposition de \(E\) en union d'un ensemble mesurable et d'un ensemble négligeable.

Soit donc \(E\in T^*\text{,}\) tel que \(E=A\cup N=A'\cup N'\text{,}\) avec \(A,A'\in \mathscr T\) et \(N,N'\in \mathscr N(\mu)\text{.}\) Il s'agit de montrer que \(\mu(A)=\mu(A')\text{.}\)

Puisque \(N,N'\in \mathscr N(\mu)\text{,}\) il existe \(CC'\in \mathscr T\) tel que \(N\subset C,\ N'\subset C'\) et \(=\mu(C)=\mu(C')=0\text{.}\)

Alors \(A\subset E \subset A'\cup C'\text{,}\) donc \(\mu(A)\leq \mu(A')+\mu(C')=\mu(A')\text{.}\) De même, \(A'\subset E\subset A\cup C\) donc \(\mu(A')\leq \mu(A)+\mu(C)=\mu(A)\text{.}\) On a donc bien \(\mu(A)=\mu(A')\text{.}\)

Maintenant qu'on s'est assurés que notre définition de \(\mu^*\) a un sens, il n'y a plus qu'à montrer que c'est une mesure sur \((X,\mathscr T^*)\) qui coïncide avec \(\mu\) sur \(\mathscr T\text{:}\)

• On a \(\mu^*(\emptyset)=\mu(\emptyset)=0\text{.}\) Plus généralement, si \(A\in \mathscr T\text{,}\) on a \(A=A\cup \emptyset\) avec \(A\in \mathscr T,\ \emptyset\in\mathscr N(\mu)\) donc \(\mu^*(A)=\mu(A)\text{.}\)

• Soit \((E_n)_n\) une famille dénombrable d'éléments de \(\mathscr T^*\) deux à deux disjoints. Alors, pour tout \(n\in\mathbb N\text{,}\) \(E_n=A_n\cup N_n\) avec \(A_n\in \mathscr T\) et \(N_n\in \mathscr N(\mu)\text{.}\) Alors \(\bigcup E_n = \left(\bigcup A_n\right)\cup\left(\bigcup N_n\right)\text{.}\) Remarquons que \(\bigcup N_n \in \mathscr N(\mu)\) ¹. De plus, puisque les \(E_n\) sont disjoints, les \(A_n\) le sont aussi. De là,

  \begin{equation*} \mu^*\left(\bigcup E_n\right)=\mu\left(\bigcup A_n\right)=\sum_n \mu(A_n)=\sum_n \mu^*(E_n), \end{equation*}

  comme souhaité.

\(\bullet\) Il reste à vérifier que la mesure \(\mu^*\) est complète, autrement dit que \(\mathscr N(\mu^*)\subset \mathscr T^*\text{.}\) Soit donc \(N\) un ensemble négligeable pour \(\mu^*\text{.}\) Alors il existe \(B\in \mathscr T^*\) tel que \(N\subset B\) et \(\mu^*(B)=0\text{.}\) Mais, puisque \(B\in \mathscr T^*\text{,}\) il existe \(A'\in\mathscr T\) et \(N'\in \mathscr N(\mu)\) tels que \(B=A'\cup N'\text{.}\) Or, puisqe \(\mu^*(B)=0\text{,}\) on a donc \(\mu(A')=0\) par définition de \(\mu^*\text{.}\) De plus, il existe \(C\in \mathscr T\) tel que \(N'\subset C\) et \(\mu(C)=0\text{.}\) Donc \(N \subset A'\cup N'\subset A\cup C\text{,}\) avec \(A\cup C\in \mathscr T\) et \(\mu(A\cup C)=0\text{.}\)

On en déduit que \(N\in \mathscr N(\mu) \subset \mathscr T^*\text{,}\) comme souhaité.