Constructions de mesures par extension

Section 4.5 Constructions de mesures par extension

Le lemme des classes monotones nous permet de dire, quand on a déjà plusieurs mesures sur un même espace mesurable, si elles sont égales. Mais il ne nous dit pas s'il en existe.

Vous me direz, on peut toujours prendre la mesure de comptage. Certes, mais supposons qu'on soit plus exigeants: par exemple, sur \(\R\text{,}\) on voulait une mesure qui généralise la longueur des intervalles.

C'est une situation dans laquelle on va se trouver assez souvent: par exemple, si on espère un jour mettre une mesure sur \(\R^2\text{,}\) on voudra qu'elle généralise l'aire des rectangles:

\begin{equation*} \mu(\lbb a_1,b_1\rbb \times \lbb a_2,b_2\rbb)=(b_1-a_1)(b_2-a_2) \end{equation*}

On aimerait pour voir choisir une valeur raisonnable pour notre mesure sur des ensembles simples, et extrapoler à la tribu la plus proche.

Comme pour le lemme des classes monotones, il faut que ces ensembles raisonnables forment une famille sympathique:

Définition 4.5.1. Algèbre.

Soit \(X\) un ensemble. On dit qu'une famille de sous-ensembles \(\mathcal A\subset \P(X)\) est une algèbre si

\(\displaystyle X\in\mathcal A\)
Pour tout \(A\in \mathcal A\text{,}\) \(A^{c}\in \mathcal A\text{;}\)
Pour tous \(A,B\in \mathcal A\text{,}\) \(A\cup B \in \mathcal A\text{.}\)

Remarque 4.5.2.

Les algèbres sont le cadre naturel pour faire des probabilités finies: c'est quand on commence à vouloir probabiliser des ensembles infinis (par exemple, pour étudier le premier succès lors d'un tirage à pile ou face, ou la modélisatio nde variables continues comme la taille ou le poids) qu'on a besoin, pas juste d'union et d'intersction finies, mais d'union et d'intersection dénombrables.

Ce passage du fini à l'infini dénombrable (ou "discret") est souvent noté par un préfixe \(\sigma\text{:}\) ainsi, les tribus sont aussi appelées des \(\sigma\)-algèbres (même chose pour la \(\sigma\)-additivité des mesures)
Pourquoi une "algèbre" ?

\(\leadsto\) Dans les livres de probabilités du XXème siècle, notamment Foundations of the theory of probability d'Andrei Kolmogorov, les opérations sur les ensembles sont notées de la même façon que les opérations algébriques:

L'intersection est notée \(AB\text{,}\) la somme disjointe est notée \(A+B\text{,}\) l'ensemble vide est noté \(0\text{,}\)etc.

Et ce sont justement ces opérations qu'on peut faire dans une algèbre.

Exercice 4.5.1. Exemples.

(a)

Soit \(E\) un e.v.n. La famille \(\mathcal O_E\) des ouverts de \(E\) est-elle une algèbre ?

(b)

La famille de tous les intervalles de \(\R\) est-elle une algèbre ?

(c)

On note \(\mathcal C\) la famille des unions disjointes d'intervalles de \(\R\text{:}\)

\begin{equation*} \mathcal C = \{I_1\cup I_2\cup...\cup I_m, m\in\N^*, (I_j)_{1\leq j\leq m} \text{ intervalles disjoints}\} \end{equation*}

Montrer que \(\mathcal C\) est une algèbre.

Le but du jeu va donc être d'élargir une "mesure" des ensembles d'une algèbre \(\mathcal A\) à une mesure sur la plus petite tribu qui contient \(A\text{.}\)

C'est Constantin qui va nous permettre de faire cete :

Théorème 4.5.4. Théorème de Carathéodory.

Soit \(X\) un ensemble, et soit \(\mathcal A\subset \mathcal P (X)\) une algèbre.

On suppose qu'on a une fonction \(\mu_0:\mathcal A\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb\text{,}\) appelée prémesure sur \(\mathcal A\text{,}\) telle que

\(\displaystyle \mu_0(\emptyset)=0;\)
Pour tous \(A,B\in \mathcal A\) disjoints, \(\mu_0(A\cup B)=\mu_0(A)+\mu_0(B)\text{.}\)
Pour toute suite \((A_n)_n \in \mathcal A^\N\) décroissante², et qui de plus vérifie

\begin{equation*} \mu_0(A_0)\lt \infty \text{ et } \bigcap_{n\in\N}A_n=\emptyset, \end{equation*}

on a

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \mu_0(A_n)=0 \end{equation*}
Il existe une suite \((E_n)_n \in \mathcal A^\N\) croissante³, telle que

\begin{equation*} \mu_0(E_n)\lt \infty \text{ pour tout } n\in\N \end{equation*}

\begin{equation*} \bigcup_{n\in\N}E_n=X, \end{equation*}

et, pour tout \(A\in\mathcal A\text{,}\)

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \mu_0(A\cap E_n)=\mu_0(A) \end{equation*}

⁴

Alors, il existe une unique mesure \(\mu\) définie sur la tribu engendrée par \(\mathcal A\text{:}\)

\begin{equation*} \mu :\sigma(\mathcal A)\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb \end{equation*}

telle que, pour tout \(A\in\mathcal A\text{,}\)\(\mu(A)=\mu_0(A).\)

On va commencer doucement, par le cas où \(\mu_0\) ne prend que des valeurs finies: la mesure \(\mu\) obtenue sera donc finie aussi.

Remarquons que ce cas suffit dans le cadre de la théorie des probabilités.

Subsection 4.5.1 Cas où \(\mu_0(X) \lt \infty\text{.}\)

Exercice Etape 1: Propriétés de \(\mu_0\)

1.

Montrer que dans ce cas, l'hypothèse \((iv)\) est automatiquement vérifiée.

Indice.

La suite \((E_n)_n\) qu'il nous faut a tout à fait le droit d'être constante.

2.

Montrer que \(\mu_0\) est \(\sigma\)-additive sur \(\mathcal A\text{,}\) autrement dit que si \((A_n)_n\in \mathcal A^\N\) est une suite d'ensembles de \(\mathcal A\) deux à deux disjoints, alors

\begin{equation*} \mu_0\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_{n\in\N}\mu_0(A_n) \end{equation*}

Indice.

Appliquer l'hypothèse \((iii)\) à la famille

\begin{equation*} A'_n=\bigcup_{k\geq n+1} A_k \end{equation*}

3.

Montrer que si \((A_n)_n\in \mathcal A^\N\) est une suite croissante d'ensembles de \(\mathcal A\text{,}\) alors

\begin{equation*} \mu_0\left(\bigcup_n A_n\right) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mu_0(A_n) \end{equation*}

4.

Montrer que \(\mu_0\) est sous-additive sur \(\mathcal A\text{,}\) autrement dit que si \((A_n)_n\in \mathcal A^\N\) est une suite d'ensembles de \(\mathcal A\) (pas spécialement disjoints) alors

\begin{equation*} \mu_0\left(\bigcup_n A_n\right) \leq \sum_{n\in\N}\mu_0(A_n) \end{equation*}

Indice.

Commencer par montrer, par récurrence, que c'est vrai pour les unions finies:

\begin{equation*} \forall n\in\N,\forall A_1,...,A_n\in\mathcal A, \mu_0(A_1\cup \ldots \cup A_n) \leq \mu_0(A_1)+...+\mu_0(A_n) \end{equation*}

puis, pour une suite infinie \((A_n)_n\in \mathcal A^\N\text{,}\) appliquer la propriété sur les unions croissantes qu'on vient d'obtenir à

\begin{equation*} A'_n=\bigcup_{k=1}^{n} A_k \end{equation*}

Maintenant qu'on est convaincus que \(\mu_0\) est très sympa, on va s'en servir pour définir une mesure extérieure sur \(\mathcal P(X)\text{,}\) comme on avait fait avec les sous ensembles de \(\R\) il y a quelque temps 2.1:

Définition 4.5.5. Mesure extérieure.

Soit \(X\) un ensemble. On dit qu'une application

\begin{equation*} m:\mathcal P(X)\rightarrow \rbb 0,+\infty \lbb \end{equation*}

est une mesure extérieure si

\(m(\emptyset)=0\text{;}\)
Si \(A\subset B\) alors \(m(A)\leq m(B)\text{;}\)
Pour toute suite \((A_n)_n\in \P(X)^\N\text{,}\)

\begin{equation*} m\left(\bigcup_n A_n\right)\leq \sum_{n\in \N}m(A_n) \end{equation*}

Petit Exercice 4.5.6.

Vérifier que la mesure extérieure sur \(\R\) dont on avait parlé à la Section 2.1 mérite son nom.

Revenons à notre ensemble \(X\text{.}\)

Exercice Etape 2: Une mesure extérieure sur \(\mathcal P(X)\)

Pour tout sous-ensemble \(Y\subset X\text{,}\) on pose

\begin{equation*} \mu^*(Y)=\inf\left\{\sum_{n\in\N}\mu_0(A_n), Y\subset \bigcup_n A_n, A_n\in \mathcal A\right\} \end{equation*}

On va vérifier que \(\mu^*\) est une mesure extérieure sur \(X\) telle que, pour tout \(A\in \mathcal A\text{,}\)

\begin{equation*} \mu^*(A)=\mu_0(A) \end{equation*}

1.

Commençons par la fin.

Soit \(A\in \mathcal A\text{.}\) Montrer que \(\mu^*(A)=\mu_0(A)\text{.}\)

En déduire qu'on a bien \(\mu^*(\emptyset) =0\text{.}\)

Indice.

Montrer séparément que \(\mu^*(A)\leq \mu_0(A)\) et \(\mu^*(A) \geq \mu_0(A)\text{,}\) en utilisant d'abord le fait que l'inf est un minorant, et ensuite le fait que c'est le plus grand de tous les minorants.

2.

Montrer que si \(Y_1\subset Y_2\subset X\text{,}\) alors \(\mu^*(Y_1) \leq \mu^*(Y_2)\text{.}\)

3.

Soit \((Y_n)_n\in \P(X)^\N\text{.}\) Montrer que, pour tout \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) pour tout \(n\in\N\text{,}\) il existe \((A_k^{(n)})_n\in \mathcal A^\N\) telle que

\begin{equation*} \sum_{k,n\in\N}\mu_0(A^{(n)}_k) \leq \varepsilon+\sum_{n\in\N} \mu*(Y_n) \end{equation*}

et en déduire que

\begin{equation*} \mu^*\left(\bigcup_n Y_n \right) \leq \sum_{n\in\N} \mu^*(Y_n) \end{equation*}

Indice.

Commencer par trouver \((A_k^{(n)})_n\in \mathcal A^\N\) telle que, pour tout \(n\in\N\)

\begin{equation*} \sum_{k}\mu_0(A^{(n)}_k) \leq \frac{\varepsilon}{2^n}+ \mu*(Y_n) \end{equation*}

Pour la deuxième partie, on pourra utilise la croissance de \(\mu^*\) qu'on vient de montrer.

Comme on l'a déjà vu 2.3, \(\mu^*\) n'est généralement pas aussi sympa qu'elle en a l'air. En général, elle n'arrive pas à être additive: pour deux ensembles \(Y\) et \(Z\) de \(X\text{,}\) il arrive qu'on ne puisse pas décomposer proprement \(Z\) en "les points de \(Z\) qui sont dans \(Y\)" et "les points de \(Z\) qui n'y sont pas", ce qui semble être la moindre des choses; autrement dit, il se peut que

\begin{equation*} \mu^*(Z)\lt \mu^*(Y\cap Z)+\mu^*(Y\cap Z^c) \end{equation*}

On va donc restreindre \(\mu^*\) aux ensembles qui se tiennent bien, et vérifier qu'il y en a assez.

Exercice Etape 3 : Fabrication sur mesure de \(\mu\text{.}\)

Notons \(\T^*\) la famille des sous-ensembles bien élevés de \(X\) :

\begin{equation*} \T^*=\{Y\subset X\, | \, \forall Z\subset X,\ \mu^*(Z)= \mu^*(Z\cap Y)+\mu^*(Z\cap Y^c)\} \end{equation*}

On va montrer que tous les ensembles de la tribu \(\sigma(\mathcal A)\) engendrée par \(\mathcal A\) son bien élevés:

\begin{equation*} \sigma(\mathcal A) \subset \T^* \end{equation*}

et que \(\mu^*\) est une mesure sur \(\T^*\text{.}\)

1.

Justifier que \(\emptyset\) est bien élevé, et que si \(Y\) est bien élevé alors \(Y^c\) aussi.

2.

Montrer que \(\T^*\) est stable par union finie: autrement dit que si \(Y_1,Y_2\in\T^*\) alors \(Y_1 \cup Y_2 \in \T^*\text{.}\)

Indice.

Il s'agit donc de montrer que, quel que soit \(Z\subset X\text{,}\)

\begin{equation*} \mu^*(Z)= \mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2))+\mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2)^c) \end{equation*}

Pour ça, montrer séparément les inégalités

\begin{align*} \mu^*(Z)\amp \leq \mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2))+\mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2)^c)\\ \mu^*(Z)\amp \geq \mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2))+\mu^*(Z \cap (Y_1\cup Y_2)^c) \end{align*}

en utilisant la sous-additivité avec largesse.

3.

Montrer que si \(Y_1,Y_2,...,Y_n\in \T^*\) sont deux à deux disjoints, alors, pour tout \(Z\subset X\text{,}\)

\begin{equation*} \mu^*(Z)\geq \mu^*(Z \cap Y_1)+...+\mu^*(Z \cap Y_n) \end{equation*}

Indice.

Commencer par le cas où \(n=2\text{,}\) en remarquant que, dans ce cas, puisque \(Y_1\) et \(Y_\) sont disjoints, \(Y_2\subset Y_1^c\text{,}\) puis faire une récurrence.

4.

Soit \((Y_n)_n\in (\T^*)^\N\) une suite d'éléments de \(\T^*\) deux à deux disjoints. Montrer que, pour tout \(Z\subset X\text{,}\) et pour tout \(n\in \N\)

\begin{equation*} \mu^*(Z) \geq \sum_{k=1}^n \mu^*(Z\cap Y_k)+\mu^*\left(Z\cap (\bigcup_{k=1}^nY_k)^c\right) \end{equation*}

et en déduire que

\begin{equation*} \mu^*(Z) \geq \mu^*\left(Z\cap (\bigcup_{k\geq 1}Y_k)^c\right) +\mu^*\left(A\cap (\bigcup_{k\geq 1}Y_k)^c\right) \end{equation*}

Conclure que \(\bigcup_n Y_n \in \T^*\text{.}\)

Indice.

On a déjà montré que \(\T^*\) est stable par union finie, donc, pour tout \(n\text{,}\) \(\bigcup_{k=1}^nY_k\in \T^*\text{.}\)

De plus, on a montré que, pour tout \(Z'\in \T^*\text{,}\)

\begin{equation*} \mu^*(Z')\geq \sum_{k=1}^n mu^*(Z' \cap Y_k) \end{equation*}

\(\leadsto\) qu'est-ce que ça donne si on prend \(Z'=Z\cap \left(\bigcup_{k= 1}^n Y_k)\) ?

5.

Soit maintenant \((Y_n)_n\in (\T^*)^\N\) une suite d'éléments de \(\T^*\) pas spécialement disjoints.

Montrer que \(\bigcup_n Y_n\in\T^*\text{.}\)

En déduire que \(\T^*\) est une tribu.

Indice.

Construire une suite disjointe \((Y_n')_n\) telle que

\begin{equation*} \forall n\in\N, Y'_n\subset Y_n \text{ et } \bigcup_n Y_n' =\bigcup_n Y_n \end{equation*}

et utiliser le cas précédent.

6.

Montrer que si \((Y_n)_n\in (\T^*)^\N\) est une suite d'éléments deux à deux disjoints de \(\T^*\text{,}\) alors

\begin{equation*} \mu^*\left(\bigcup_n Y_n\right) = \sum_n \mu^*(Y_n) \end{equation*}

En déduire que \(\mu^*_{|\T^*}\) est une mesure sur la tribu \(\T^*\text{.}\)

Indice.

Reprendre les calculs qui nous ont donné Equation avec \(Z\) bien choisi.

7.

Soit \(A\in \mathcal A\text{.}\) Soit \(Z\subset X\text{.}\)

Montrer que, pour chaque \(\varepsilon \gt 0\text{,}\) il existe \((B^\varepsilon_n)_n\in\A^\N\) telle que

\begin{equation*} Z\subset \bigcup_n B^\varepsilon_n \text{ et } \sum_n\mu^*(B_n^\varepsilon) \leq \mu^*(Z)+\varepsilon. \end{equation*}

En déduire que

\begin{equation*} \mu^*(B)\geq \mu(Z\cap A) + \mu^*(Z\cap A^c) -\varepsilon \end{equation*}

et conclure que \(A\in \T^*\text{.}\)

Indice.

Revenir à la définition de \(\mu^*(Z)\) : c'est la borne inférieure du type de sommes qu'on veut.

8.

Récapituler tout ce qu'on a obtenu et conclure que

\(\mu:=\mu^*_{|\sigma(\mathcal A)}\)

est une mesure sur \(\sigma(\mathcal A)\) telle que, pour tout \(A\in\mathcal A\text{,}\)

\begin{equation*} \mu(A)=\mu_0(A) \end{equation*}

Remarque 4.5.7.

Limite décroissante et \(\sigma\)-additivité

Dans la foulée, on a montré que, si \(\mu_0\) vérifie les deux propriétés suivantes:

Pour tous \(A,B\in\mathcal A\) tels que \(A\cap B=\emptyset\text{,}\) on a:

\begin{equation*} \mu_0(A\cup B)=\mu_0(A)+\mu_0(B) \end{equation*}
Pour toute suite \((A_n)_n\in \mathcal A^\N\) décroissante telle que \(\bigcap_n A_n=\emptyset\text{,}\)\(\lim_{n\rightarrow\infty} \mu_0(A_n)=0\text{;}\)

alors \(\mu_0\) est \(\sigma\)-additive.

Exercice 4.5.2 Cas général

Plus qu'à traiter le cas où \(\mu_0\) n'est pas finie.

Rappelons qu'on suppose qu'il existe une suite croissante \((E_n)_n \in \mathcal A^\N\text{,}\) telle que

\begin{equation*} \mu_0(E_n)\lt \infty \text{ pour tout } n\in\N,\quad \bigcup_{n\in\N}E_n=X, \end{equation*}

et, pour tout \(A\in\mathcal A\text{,}\)

\begin{equation*} \lim_{n\rightarrow\infty} \mu_0(A\cap E_n)=\mu_0(A) \end{equation*}

1.

Trouver une suite \((\mu_p)_p\) de mesures finies sur \(\sigma(\mathcal A)\) telles que, pour tout \(Y\in \sigma(\mathcal A)\text{,}\)

\begin{equation*} (\mu_p(Y))_p \in (\R^+)^\N \end{equation*}

est croissante.

Indice.

Appliquer le cas précédent à

\begin{equation*} \mu_{0,p}:A\in\mathcal A \mapsto \mu_0(A\cap E_p) \end{equation*}

2.

On pose, pour tout \(Y\in\sigma(\mathcal A)\text{,}\)

\begin{equation*} \mu(Y)=\lim_{n\rightarrow\infty} \mu_p(Y) \end{equation*}

Montrer que \(\mu\) est une mesure sur \((X,\sigma(\mathcal A))\text{.}\)

3.

Montrer que, pour tout \(A\in \mathcal A\text{,}\) \(\mu(A)=\mu_0(A)\text{.}\)

4.

Conclure avec mesure.

Spoiler.

Exercice 4.5.2. Toutes les hypothèses servent !

On considère, la famille de sous-ensembles de \(\N\) donnée par

\begin{equation*} \mathcal A =\{A\subset \N, A \text{ fini ou } A^c \text{ fini.}\} \end{equation*}

On définit là-dessus l'application

\begin{equation*} \mu_0: A\in \mathcal A \mapsto \begin{cases} 0\amp \text{ si } A \text{ fini,}\\ 1 \amp\text{ si } A^c \text{ fini}\end{cases} \end{equation*}

(a)

Montrer que \(\mathcal A\) est une algèbre telle que \(\sigma(\mathcal A)=\P(\N)\text{.}\)

Indice.

Remarquer que les singletons sont finis.

(b)

Montrer que \(\mu_0\) vérifie

\begin{equation*} \mu_0(\emptyset)=0 \end{equation*}

et, si \(A,B\in\mathcal A\) sont disjoints,

\begin{equation*} \mu_0(A \cup B)=\mu_0(A)+\mu_0(B) \end{equation*}

(c)

Supposons qu'on puisse prolonger \(\mu_0\) à une mesure \(\mu\) sur \(\P(\N)\) telle que

\begin{equation*} \forall A\in\mathcal A,\ \mu(A)=\mu_0(A) \end{equation*}

En déduire que, dans ce cas, pour tout \(Y\subset \N\) infini,

\begin{equation*} \mu(Y)=\lim_{n\rightarrow \infty} \mu_0(Y\cap \{1,...,n\}) \end{equation*}

et que du coup, \(0=1\text{.}\)

(d)

Qu'est-ce qui s'est mal passé ?

Exercice 4.5.3. On a déjà vu ça quelque part....

Reprenons, sur \(\R\text{,}\) la famille des unions finies d'intervalles disjoints:

\begin{equation*} \mathcal C = \{I_1\cup I_2\cup...\cup I_m, m\in\N^*, (I_j)_{1\leq j\leq m} \text{ intervalles disjoints}\} \end{equation*}

On a vu que c'était une algèbre. Définissons dessus l'application qui, a toute union d'intervalles, associe la somme de leurs longueurs:

\begin{equation*} \mu_0: I_1\cup I_2\cup...\cup I_m\in \mathcal C \mapsto \ell(I_1)+...+\ell(I_m) \in \rbb 0,+\infty \lbb \end{equation*}

(a)

Montrer que \(\mu_0(\emptyset)=0\text{.}\)

Indice.

Remarquer que \(\lbb -\dfrac{78}{\pi^3},\dfrac{78}{\pi^3}\lbb =\emptyset\text{.}\) Par exemple.

(b)

Montrer que si \(A=I_1\cup...\cup I_m, B= J_1\cup...\cup J_p\) sont disjoints, alors

\begin{equation*} \mu_0(A\sqcup B ) = \mu_0(A) + \mu_0(B) \end{equation*}

(c)

Montrer que si \((A_n)_n \in \mathcal A^\N\) est une suite décroissante de \(\mathcal C\) telle que

\begin{equation*} \mu_0(A_0)\lt \infty \text{ et } \bigcap_{n\in\N}A_n=\emptyset, \end{equation*}

on a bien

\begin{equation*} \lim \mu_0(A_n) \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{}0. \end{equation*}

(d)

Trouver une suite croissante d'intervalles \((E_n)_n\) qui vérifie la propriété (iv).

(e)

Quelle mesure extérieure obtient-on sur \(\P(\R)\) en procédant comme dans la preuve du théorème ?

Quelle est la tribu engendrée par \(\mathcal C\) ?

Et du coup, vu ce qu'on a fait à la Section 4.3, quelle est la mesure qu'on obtient ?

La construction qu'on a faite pour construire la mesure de Borel est un cas particulier de celle de Constantin.

en.wikipedia.org/wiki/Constantin_Carath%C3%A9odory

Autrement dit, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(A_{n+1}\subset A_n\)

Autrement dit, pour tout \(n\in\N\text{,}\) \(E_{n}\subset E_{n+1}\)

....et ce sera tout, merci.