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Section 6.4 Limites de fonctions mesurables

On l'a vu, les limites de l'intégrale de Riemann sont particulièrement flagrantes lorsqu'on essaie de passer à la limite. Pour étudier cette question avec notre nouvel arsenal, il convient donc de vérifier que les limites de suites de fonctions "raisonnables" sont encore raisonnables.

Afin d'éviter de laborieuses séparations de cas, on va ici travailler dans \(\overline{\mathbb R}=\mathbb R \cup \{-\infty,+\infty\}\text{,}\) muni de ses opérations habituelles, qui étendent les opérations sur \(\mathbb R\)  1 .

C'est un espace topologique, dont les ouverts sont des unions d'intervalles de la forme

\begin{equation*} \rbb -\infty,a\rbb ,\quad \lbb a,b\rbb ,\quad \lbb b,+\infty\lbb . \end{equation*}

On peut donc parler de la tribu borélienne de \(\overline{\mathbb R}\): concrètement, \(A\in \mathscr B(\overline{\mathbb R})\) ssi \(A\cap \mathbb R\in \mathscr B(\mathbb R)\text{.}\)

Il sera souvent commode de se ramener à une famille qui engendre \(\mathscr B(\overline{\mathbb R})\text{:}\)

\begin{equation*} \mathscr B(\overline{\mathbb R})=\sigma\left(\left\{\lbb a,+\infty\lbb ,a\in\mathbb R\right\}\right). \end{equation*}

On est alors plus à l'aise pour montrer:

  • Soit \(a\in\mathbb R\text{,}\) on a

    \begin{equation*} (\sup_n f_n)^{-1}(\lbb a,+\infty\lbb )=\{x\in X, \sup_n (f_n(x))>a\}=\bigcup_n f_n^{-1}(\lbb a,+\infty\lbb ) \end{equation*}

    Or, puisque toutes les fonctions \(f_n\) sont mesurables, on a \(f_n^{-1}(\lbb a,+\infty\lbb )\in\mathscr T\) pour tout \(n\text{,}\) donc \((\sup_n f_n)^{-1}(\lbb a,+\infty\lbb )\in T\text{.}\) Puisque \(\mathscr B(\overline{\mathbb R})\) est engendrée par les ensembles de la forme \(\lbb a,+\infty\lbb \text{,}\) on peut conclure que \(\sup_n f_n\) est mesurable.

  • Symétriquement, \(\inf_n f_n = -\sup_n (-f_n)\text{,}\) donc \(\inf_n f_n\) est également mesurable.

  • Rappelons que

    \begin{equation*} \limsup f_n = \inf_n \sup_{k\geq n} f_k \quad \text{et} \quad \liminf f_n = \sup_n \inf_{k\geq n}f_k \end{equation*}

    donc, d'après les deux point précédents, ces deux fonctions sont mesurables.

  • Par ailleurs, on sait que, pour \(x\in X\text{,}\) \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)\) existe si, et seulement si \(\limsup f_n(x)=\liminf f_n(x)\text{.}\) Ainsi, l'ensemble \(A=\{x\in X, \lim_n f_n(x) \text{ existe}\}\) se réécrit

    \begin{equation*} A=F^{-1}(\Delta) \end{equation*}

    où \(F:X\rightarrow(\overline{\mathbb R})^2\) est la fonction \(x\mapsto (\liminf f_n(x),\limsup f_n(x))\) et \(\Delta=\{(a,a),\ a\in \mathbb R\}\text{.}\) La diagonale \(\Delta\) est un fermé, donc un borélien, de \(\mathbb R^2\text{;}\) d'autre part, puisque \(\limsup f_n\) et \(\liminf f_n\) sont mesurables, \(F\) l'est aussi (voir lemme ci-dessous). On en déduit que \(A\in T\) comme souhaité.

  • D'autre part, pour tout \(x\in A\text{,}\) \(\lim_n f_n(x)=\limsup f_n(x)\text{,}\) donc la fonction \(\lim f_n :A \rightarrow \overline{\mathbb R}\) est bien mesurable. Mais on peut aussi le montrer directement: en effet, pour \(x\in A\text{,}\)

    \begin{equation*} \lim f_n(x)>a \iff \exists n\in \mathbb{N}^*,\ \exists m\in \mathbb{N}, \forall k\geq m, f_k(x)>a+\frac 1n \end{equation*}

    donc, en posant \(f=\lim f_n : A\rightarrow \overline{\mathbb R}\text{,}\)

    \begin{equation*} f^{-1}(\lbb a,+\infty\lbb )=\bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{m=0}^\infty \bigcap_{k=m}^\infty f_k^{-1}(\lbb a+\frac 1n,+\infty\lbb ) \end{equation*}

    Comme précédemment, puisque toutes les fonctions \(f_k\) sont mesurables sur \(X\text{,}\) donc sur \(A\text{,}\) ceci implique que \(f\) est mesurable.

Pour démontrer que l'ensemble \(A\) est mesurable, on aurait aussi pu utiliser la caractérisation suivante:

\begin{align*} A \amp =\{x\in X,\ (f_n(x))_n \text{ est de Cauchy}\}\\ \amp = \bigcap_{k\in\mathbb N^*}\bigcup_{n_0\in\mathbb N}\bigcap_{p,q\geq n_0}(f_p-f_q)^{-1}\left(\left\lbb -\frac1k,\frac1k\right[, \right) \end{align*}

Mais c'eût été regrettable, car on n'aurait alors eu aucune raison de vérifier le point suivant: on n'a pas parlé, jusqu'ici, de fonctions mesurables à valeurs dans \(\mathbb R^2\) (ou \((\overline{\mathbb R})^2\)). Comme souvent, la vie - en tout cas, la partie mathématique - est bien faite:

De même que les boréliens de \(\mathbb R\) sont engendrés par les intervalles, on peut montrer que

\begin{equation*} \mathscr B(\mathbb R^2)=\sigma\left(\{I_1\times I_2,\ I_1,I_2 \text{ intervalles de } \mathbb R\}\right). \end{equation*}

On en déduit que \(F\) est mesurable ssi, pour tous intervalles \(I_1,I_2\) de \(\mathbb R\text{,}\) on a \(F^{-1}(I_1\times I_2)\in \mathscr T\text{.}\) Or,

\begin{equation*} F^{-1}(I_1\times I_2)= f_1^{-1}(I_1)\cap f_2^{-1}(I_2) \end{equation*}

donc, si \(f_1\) et \(f_2\) sont mesurables, \(F\) l'est aussi.

Réciproquement, si \(F\) est mesurable, alors, pour tout intervalle \(I\text{,}\)

\begin{equation*} f_1^{-1}(I)=F^{-1}(I\times \mathbb R)\in \mathscr T,\quad f_2^{-1}(I)=F^{-1}(\mathbb R \times I)\in \mathscr T, \end{equation*}

donc \(f_1\) et \(f_2\) sont mesurables.

Attention, \(a+b\) n'est pas défini si \(a=+\infty\) et \(b=-\infty,\) et \(ab\) n'est pas défini si \(a=0\) et \(b=\pm \infty\text{.}\)
Attention, la dernière égalité n'aurait pas marché si on avait considéré \((\sup_n f_n)^{-1}(\rbb a,+\infty\lbb )\)