Probabilité, mesure, et intégration

Section 8.2 Mesure produit

Comment va-t-on s'y prendre pour mesurer un sous-ensemble \(E\subset X\times Y\) ?

Commençons doucement: les ensembles qu'on peut compter.

Prenons par exemple, \(X=Y =\N\text{,}\) avec la tribu \(\mathcal P(\N)\) et la mesure de comptage \(\mu\text{.}\)

Si on a un sous-ensemble \(A\) dans \(\N\times\N\text{,}\) par exemple:

une façon de mesurer \(A\text{,}\) ce serait tout simplement d'utiliser la mesure de comptage sur \(\N^2\text{:}\) la mesure de \(A\text{,}\) ce serait \(\Card(A)\text{,}\) ici \(\Card(A)=10\text{.}\)

Ce qui est tout à fait raisonnable, mais ne nous dit pas vraiment comment on passe de la mesure sur \(\N\) à la mesure sur \(\N\times\N\text{.}\)

Ca se voit mieux sur un rectangle:

Bien sûr, on peut calculer \(\Card(R)\) en comptant les points rouges un par un, mais il semble plus efficace de compter les points en hauteur, dans \(\N\) du coup, et de multiplier par la largeur¹. Ce qui est rassurant, c'est que le théorème suivant arrive à la même conclusion:

\(A\) n'est pas un rectangle mais on peut quand même faire une opération du même genre, en tenant compte du fait que la hauteur varie à chaque point en "largeur": on découpe A en "tranches" verticales:

et on compte tranche par tranche:

De la même façon, si on a un rectangle dans \(\R^2\text{,}\) et qu'on veut le mesurer, il semble raisonnable de dire que sa mesure, c'est son aire:

Et à nouveau, c'est la conclusion du théorème précédent.

De là, pour mesurer un patatoïde \(E\subset \R^2\text{,}\) on pourrait le découper en petits sous-rectangles, et sommer les aires:

Le problème, c'est que ça nous limite aux ensembles qu'on peut remplir avec des sous-rectangles. Et se pose le même problème que pour la mesure des sous-ensembles de \(\R\text{:}\) des sous-ensembles de \(\R^2\text{,}\) il y en a des pas piqués des hannetons², et on aimerait les mesurer quand même. Et pour ça, plutôt que de se restreindre à des aires de rectangles, on aimerait se baser sur la puissante mesure de Borel/Lebesgue qu'Emile et Henri a sué sang et eau pour nous donner.

Et pour ça, comme pour les ensembles finis qu'on vient de voir, on va découper nos patatoïdes en tranches fines, et mesurer les tranches. Et ça, on va pouvoir le faire sur n'importe quel produit d'espaces mesurés \((X,\T,\mu)\) et \((Y,\mathscr S,\nu)\text{.}\)

Introduisons pour ça quelques notations:

Pour tout sous-ensemble \(E\subset X\times Y\text{,}\) on pose, pour \(x\in X\text{:}\)

\(\leadsto\) Du coup, \(E_{x,.}\) est un sous-ensemble de Y.

Puisque \(E_{x,.}\) et \(E_{.,y}\) sont mesurables, on va pouvoir... les mesurer:

• Pour tout \(x\in X\text{,}\) on obtient \(\nu(E_{x,.})\in\rbb 0,+\infty\lbb \text{.}\) Ce qui nous donne une fonction

  \begin{equation*} x\in X\mapsto\nu(E_{x,.})\in\rbb 0,+\infty\lbb \end{equation*}

• Pour tout \(y\in Y\text{,}\) on obtient \(\mu(E_{.,y})\in\rbb 0,+\infty\lbb \text{.}\) Ce qui nous donne une fonction

Pour tout \(x\in X\text{,}\) on obtient \(\nu(E_{x,.})\in\rbb 0,+\infty\lbb \text{.}\) Ce qui nous donne une fonction

La deuxième bonne nouvelle, c'est que cette fonction est elles-même mesurables:

Avant de montrer ça, vérifions ce que ça donne sur un exemple:

Démontrons le résultat, en commençant par le petit bain:

Et pourquoi est-ce fantastique de pouvoir mesurer \(\phi_E\text{,}\) me demanderez-vous ?

Revenons à notre raison première de découper en tranches: mesurer l'ensemble \(E\text{.}\)

Pour \(x_0\in X\text{,}\) \(\nu(E_{x_0,.})\) mesure la "tranche verticale" de \(E\) à la position \(x_0\text{:}\)

et pour mesurer \(E\text{,}\) donc, on peut "sommer" les mesures de toutes ces tranches:

et c'est comme ça qu'on va définir la mesure produit: on pose

Pour résumer, on a obtenu \(\mu\otimes\nu\text{,}\) en découpant les ensembles mesurables en tranches "verticales" \(E_{x,.}\subset Y\text{,}\) qu'on a mesurées à l'aide de \(\nu\text{,}\) puis on a intégré sur toutes les tranches à l'aide de \(\mu\text{.}\)

On a donc défini, avec les notations de la section précédente

Mais la mesure d'un ensemble mesurable de \(Y\text{,}\) c'est la même chose que l'intégrale de son indicatrice:

\(\leadsto\) Notre intégrale est une intégrale double sur une indicatrice de tranche verticale.

Mais on aurait pu découper horizontalement.

Dans ce cas, on obtient des tranches mesurables dans X:

Définition 8.2.8.

Pour \(y\in Y\text{,}\)on note

\begin{equation*} E_{.,y}=\{x\in X,(x,y)\in E\}\subset X \end{equation*}

Par exemple, avec notre sous-ensemble de tout à l'heure

Sans grande surprise, les tranches horizontales ont les mêmes propriétés que les tranches verticales:

⁴

Pour tout \(E\in \T\otimes \mathscr S\text{,}\) pour tout \(y\in Y\text{:}\)

• \(\displaystyle E=\bigcup_{y\in Y}E_{.,y}\times\{y\}\)

• \(\displaystyle (E\setminus F)_{.,y}=E_{.,y}\setminus F_{.,y}.\)

• \(\displaystyle \left(\bigcup_{i\in I}E_{i}\right)_{.,y}=\bigcup_{i\in I}(E_{i})_{.,y}\)

• \(\displaystyle \left(\bigcap_{i\in I}E_{i}\right)_{.,y}=\bigcap_{i\in I}(E_{i})_{.,y}\)

• Et, enfin, \(E_{.,y}\) est mesurable: \(E_{.,y}\in\mathscr S\text{.}\)

Ce qui nous permet de définir une fonction qui mesure les tranches:

Et vous ne serez pas surpris d'apprendre que \(\psi_E\) est mesurable de \((Y,\S)\) dans \((\overline{\R}^+,\B(\overline{\R}^+))\text{.}\)

Ce que je vous laisse vérifier, si vous ne me croyez pas.

Et choisir la bonne direction de découpage, c'est parfois ce qui va nous éviter de nous retrouver dans cette situation

Et du coup notre mesure produit nous donne

Enfin, comme pour les tribus, si on a \(14\) espaces mesurés, on n'a pas 2674440⁵ mesures différentes sur leur produit: