Du cube aux rectangles

Section 11.3 Du cube aux rectangles

Très bien, me direz-vous, mais il y a quand même un paquet de boréliens qui ne sont pas \(C_0^n\text{.}\)

Notamment les rectangles

\begin{equation*} \mathcal R=\{\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb,\ a_1,b_1,...,a_n,b_n\in \R, \forall i,\ a_i\lt b_i \} \end{equation*}

Voyons donc ce qui se passe pour les rectangles: avec un peu de chance, puisque

\begin{equation*} \B(\R^n) = \tau(\mathcal R) \end{equation*}

on pourra en déduire le résultat pour tous les boréliens sans trop de douleur.

Prenons donc \(2n\) réels \(a_1,b_1,....,a_n,b_n\text{,}\) tels que pour chaque \(i=1,...,n\text{,}\) \(a_i\lt b_i\text{,}\) et faisons-en un beau rectangle

\begin{equation*} R=\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb \end{equation*}

On se donne aussi un tout aussi bel isomorphisme \(L\) de \(\R^n\text{.}\)

Exercice Exercice

1.

Montrer qu'il existe un \(a\in\R^n\) et un isomorphisme \(\varphi\) de \(\R^n\) tels que

\begin{equation*} R = a + \varphi(C_0) = \{x\in\R^n, \exists y\in C_0 \text{ t.q. } x = a + \varphi(y) \} \end{equation*}

En déduire que

\begin{equation*} L(R) = L(a) + (L\circ \varphi)(C_0^n) \end{equation*}

Indice.

Un petit rappel sur les notations ensemblistes: si \(A\subset \R^n\) est un ensemble et \(v\in\R^n\) est un vecteur, on définit \(v+A\) (le translaté de \(A\)) par

\begin{equation*} v+A := \{v+w,w\in A\}= \{u\in\R^n,\ \exists w\in A, u =v+w \} \end{equation*}

Et rappelons aussi, au cas où, que \(L\) est une application linéaire.

2.

En déduire que

\begin{equation*} \mu_n(L(R)) = |\det L| |\det \,\varphi | \mu(C_0^n) \end{equation*}

Indice.

Une propriété sympathique de la mesure de Borel: elle est invariante par translation

C'est-à-dire que, pour tout borélien \(B\in\B(\R)\) et pour tout \(v\in\R^n\text{,}\)

\begin{equation*} \mu_n(v+B)= \mu_n(B) \end{equation*}

Par ailleurs, on a montré récemment un résultat sympathique sur la mesure de Borel de \(\psi(C_0)\text{,}\) quand \(\psi\) est un isomorphisme de \(\R^n\text{.}\)

3.

Mais, que vaut \(|\det \,\varphi |\) ?

En déduire que

\begin{equation*} \mu_n(L(R)) = |\det(L)|(b_1-a_1)(b-2-a_2)....(b_n-a_n) \end{equation*}

et conclure.

On a donc, pour tout isomorphisme \(L\) de \(\R^n\) et pour tout rectangle \(R = \rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb\in\mathcal R\text{,}\)

\begin{equation*} \boxed{\mu_n(L(R))= |\det(L)|\mu_n(R)} \end{equation*}