Probabilité, mesure, et intégration

Comme discuté en introduction, il semble y avoir mille et une façons différentes de faire des probabilités, mais elles ont toutes en commun de "mesurer" des sous-ensembles d'un certain ensemble des possibilités \(\Omega\text{.}\) C'est donc probablement (!) en creusant cette idée qu'on pourra donner un cadre unifié aux probabilités.

Mais qu'appelle-t-on, exactement, "mesurer" un sous-ensemble ?

Si \(\Omega\) est un ensemble fini ou dénombrable, il semble approprié de dire que la mesure d'un ensemble, c'est le nombre d'éléments qu'il contient: dans ce cas, la mesure serait donc

Mais cette approche n'est pas très pertinente quant il s'agit de sous-ensembles de \(\R\text{:}\) si on essaie d'appliquer cette idée au tirage au sort d'un réel dans l'intervalle \(\lbb 0,1\rbb\text{,}\) on a plutôt envie de dire que la probabilité d'être dans la moitié gauche \(\lbb 0, \frac{1}2 \rbb\) est de \(\frac12\text{,}\) et la probabilité de tomber dans le tiers du milieu \(\lbb \frac{1}3, \frac{2}3 \rbb\) devrait être \(\frac13\text{.}\) Par contre, on n'a aucune chance de tomber exactement sur \(\frac{\pi}{208}\text{.}\)

\(\leadsto\) Il semble que dans ce cas, on s'intéresse plutôt à la longueur des intervalles.

Mais il existe des sous-ensembles de \(\R\) qui n'ont pas le bon sens d'être des intervalles ¹ : il nous faudrait un moyen de leur attribuer quand même une longueur, ce qui nous donnerait une fonction

Si cette mesure \(m\) est à peu près raisonnable, elle devrait vérifier

• Si \(A\subset B\subset \R\text{,}\) alors \(m(A)\leq m(B)\)

• Un point devrait être de mesure nulle: \(m(\{a\})=0\) pour tout \(a\in\R\text{.}\)

• la mesure d'un intervalle devrait être sa longueur:

  \begin{equation*} |\rbb a,b\lbb |=|\rbb a,b\rbb |=|\lbb a,b\lbb |=|\lbb a,b\rbb | = b-a \end{equation*}

  et

  \begin{equation*} |\lbb a,\infty\rbb| = |\rbb a,\infty\rbb|=|\lbb -\infty, a\rbb |=|\lbb -\infty, a\lbb| =+\infty \end{equation*}

• Si on translate un ensemble, ça ne devrait pas changer sa longueur:

  \begin{equation*} m(A+t)=m(A) \end{equation*}

  pour tout \(A\subset \R\) et pour tout \(t\in\R\text{.}\)

• Si \(A\) et \(B\) sont disjoints, on devrait avoir

  \begin{equation*} m(A\cup B)= m(A)\cup m(B) \end{equation*}

Plus qu'à trouver \(m\text{.}\)

En analyse, une stratégie qui a fait ses preuves est d'approximer ce qu'on ne sait pas encore calculer par une suite d'objets sur lesquels on sait faire.