Section 11.4 Des rectangles aux boréliens
On va enfin passer aux boréliens en général, qui sont éventuellement beaucoup plus exotiques que ça.
Pour cela, on va utiliser le fait que, par définition, la mesure de Borel \(\mu_n\) est l'unique mesure sur \((\R^n,\B(\R^n))\) telle que, pour tout rectangle
\begin{equation*}
\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb
\end{equation*}
avec \(a_i\lt b_i\) pour chaque \(i\text{,}\) on a
\begin{equation*}
\mu_n(\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb) = (b_1-a_1)...(b_n-a_n)
\end{equation*}
Du coup, si on trouve une autre mesure \(\nu\) qui vérifie
\begin{equation*}
\nu(\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb) = (b_1-a_1)...(b_n-a_n)
\end{equation*}
on peut en déduire que ce sont les mêmes: et donc que pour tout borélien \(B\in\B(\R^n)\text{,}\)
\begin{equation*}
\nu(B)=\mu_n(B)
\end{equation*}
Exercice Exercice
Reprenons notre isomorphisme \(L\) de \(\R^n\text{,}\) et posons
\begin{equation*}
\nu : B \in \B(\R^n) \mapsto \frac{1}{|\det(L)|}\mu_n(L(B))
\end{equation*}
1.
Montrer que \(\nu\) est une mesure sur \((\R^n,\B(\R^n))\text{.}\)
2.
Montrer que pour tous réels \(a_1,b_1,....a_n,b_n\) tels que pour tout \(i\text{,}\) \(a_i \lt b_i\text{,}\) on a
\begin{equation*}
\nu(\rbb a_1,b_1 \rbb\times... \times \rbb a_n,b_n \rbb) = (b_1-a_1)...(b_n-a_n)
\end{equation*}
3.
Conclure triomphalement.