Chapitre 3 Tribus et boréliens
De fait, même si on ne s'en rend pas forcément compte dans la vie de tous les jours, \(\mathcal P(\mathbb R)\) est un ensemble absolument monstrueux. Des sous-ensembles de \(\mathbb R\text{,}\) il y en a énormément, et définir une fonction qui mesure tout cela de façon cohérente est, on l'a vu, une entreprise vouée à l'échec. On va donc se restreindre à une certaine famille de sous-ensembles. La question est donc:
Qui sont les sous-ensembles sympathiques de R ?
Pour répondre à cette question, on va repartir des intervalles ouverts, et les reconsidérer du point de vue topologie de \(\mathbb R\text{.}\)
Dans ce cadre, les intervalles sont les boules ouvertes de cet espace vectoriel normé, et il semble donc naturel de compter les ouverts de \(\mathbb R\) dans les ensembles "plutôt sympathiques", qu'on peut espérer mesurer.
De plus, si on veut que notre mesure soit \(\sigma\)-additive, il va falloir que, si \((A_n)_n\) est une famille dénombrable d'ensembles sympathiques, alors \(\bigcup_n A_n\) le soit aussi: sinon on ne pourra pas calculer la mesure de \(\bigcup_n A_n\) pour la comparer à la somme des mesures des \(A_n\text{.}\)
Et si on souhaite faire des probabilités en utilisant cette mesure, il faudrait qu'on puisse mesurer le complémentaire de tout ensemble sympathique.
Puisque l'un de nos objectifs est de trouver un cadre global qui unifie, non seulement les probabilités continues qui font intervenir des intégrales, mais aussi les probabilités discrètes ou même mixtes, on va utiliser l'approche axiomatique: on va non seulement définir la famille des sous-ensembles sympathiques de \(\R\text{,}\) mais aussi poser une définition générale du type de familles d'ensembles sur lesquels on pourrait définir une mesure.
Pour cela, on fait simplement la liste des propriétés qu'on veut absolument avoir: c'est ce qui nous amène à la notion générale de tribu, dont les ensembles sympathiques de \(\R\) sera un cas particulier.