Longueur d'intervalles et approximation par des intervalles

Section 2.1 Longueur d'intervalles et approximation par des intervalles

Pour mener à bien ce programme, partons donc de ce qu'on connaît: les longueurs d'intervalles. Pour un intervalle ouvert \(I \subset \mathbb R\text{,}\) on définit sa longueur, sans grande surprise, par

\begin{equation*} \ell(I) = \begin{cases} b-a \text{ si } I= \lbb a,b\rbb,\text{ avec } a\lt b\\ 0 \text{ si } I = \emptyset\\ \infty \text{ si } I=\mathbb R,\, \lbb a,\infty\rbb \text{ ou } \lbb -\infty, a\rbb \end{cases} \end{equation*}

De là, il semble également raisonnable que la mesure d'une union disjointe d'intervalles soit la somme de la longueur des intervalles. Par exemple, la longueur de \(\lbb 2,3\rbb \cup\lbb 4,6\rbb \) devrait être \(1+2=3\text{.}\)

De plus, si un sous-ensemble de \(\mathbb R\) est inclus dans un autre, on est en droit de s'attendre à ce que la longueur du premier soit plus petite par celle du deuxième.

Du coup, si \(A\) est un sous-ensemble de \(\mathbb R\text{,}\) et \((I_n)_n\) une suite d'intervalles telle que \(A \subset \bigcup_n I_n\text{,}\) alors la mesure de \(A\) devrait être plus petite que la somme des \(\ell(I_n)\text{,}\) et en "resserrant" les intervalles autour de \(A\text{,}\) on devrait approcher d'une mesure raisonnable pour \(A\text{.}\)

C'est ce qui nous inspire la définition suivante:

Définition 2.1.1. (Mesure extérieure).

La mesure extérieure \(|A|\) d'une partie \(A\subset \mathbb R\) est définie par

\begin{equation*} |A|=\inf \left\{ \sum_n \ell(I_n),\, (I_n)_{n\in \mathbb N} \text{ intervalles t.q. } A \subset \bigcup_n I_n\right\} \end{equation*}

Remarque 2.1.2.

La somme \(\sum \ell(I_n)\) est éventuellement infinie. La mesure extérieure définit ainsi une fonction \(\mathcal P(\mathbb R)\rightarrow \rbb 0,\infty\lbb \text{.}\)

Exercice 2.1.1. Mesures des intervalles.

(a)

Justifier que \(|\lbb a,b\rbb | = \ell(\lbb a,b\rbb) = b-a\text{.}\)

(b)

Montrer que \(|\lbb a,b\lbb | = b-a\text{,}\) et en déduire que

\begin{equation*} |\rbb a,b\lbb |=|\rbb a,b\rbb |=|\lbb a,b\lbb |=|\lbb a,b\rbb | = b-a \end{equation*}

Indice.

Remarquer que, si \((I_n)_n\) est une famille dénombrable d'intervalles ouverts qui contient \(\lbb a,b\lbb\text{,}\) alors elle contient aussi \(\lbb a,b\rbb\text{.}\)

\(\leadsto\) on devrait pouvoir en tirer que \(|\lbb a,b\lbb | \geq \lbb a,b\rbb\text{.}\)

Dans l'autre sens, noter que, quel que soit \(k\in\N^*\text{,}\)

\begin{equation*} \rbb a ,b \lbb \subset \,\left]\,a-\frac1{k},b+\frac1{k}\,\right[ \end{equation*}

(c)

Montrer de la même façon que

\begin{equation*} |\lbb a,\infty\rbb| = |\rbb a,\infty\rbb|=|\lbb -\infty, a\rbb |=|\lbb -\infty, a\lbb| =+\infty \end{equation*}

Exercice 2.1.2. Les singletons sont de longeur nulle.

(a)

Montrer que, pour tout \(x\in\R\text{,}\) \(|\{x\}|=0\)

Spoiler.

Pour tout \(p\in\N^*\text{,}\) on a

\begin{equation*} \{x\} \subset J^p= \rbb x-\frac1{2p},x+\frac1{2p} \rbb \end{equation*}

donc la suite d'intervalles \(I_1=J^p,I_2=\emptyset,I_3=\emptyset,...\) recouvre \(x\text{.}\) Mais du coup

\begin{align*} 0\leq |\{x\}| \amp = \inf \left\{ \sum_n \ell(I_n),\, (I_n)_{n\in \mathbb N} \text{ intervalles t.q. } A \subset \bigcup_n I_n\right\}\\ \amp \leq \ell(I_p)+\ell(\emptyset)+...+\ell(\emptyset) = \ell(I_p)+0+0+...\\ \amp =\frac1{p} \end{align*}

donc, en faisant \(p\rightarrow 0\text{,}\) on trouve \(|\{x\}|=0\text{.}\)

(b)

Montrer qu'en fait, si \(F\subset \R\) est un sous-ensemble fini, alors \(|F|=0\text{.}\)

Attention: on pressent, mais on ne sait pas encore, que la mesure extérieure d'une union finie de sous-ensembles disjoints est égale à la somme de la mesure des sous-ensembles.

(c)

Encore plus généralement, montrer que si \(D\subset \R\) est dénombrable, alors \(|D|=0\text{.}\)