Section 6.3 Opérations sur les fonctions mesurables
La famille des fonctions mesurables est stable par la plupart des opérations habituelles sur les fonctions, à commencer par la composition:
Proposition 6.3.1.
Soit \(f:(X_1,\mathscr T_1)\rightarrow (X_2,\mathscr T_2)\) et \(g:(X_2,\mathscr T_2)\rightarrow (X_3,\mathscr T_3)\) deux applications mesurables. Alors \(g\circ f:(X_1,\mathscr T_1)\rightarrow(X_3,\mathscr T_3)\) est encore mesurable.
Preuve.
Soit \(A\in\mathscr T_3\text{.}\) Alors \((g\circ f)^{-1}(A)=f^{-1}(g^{-1}(A))\text{.}\)
Puisque \(g\) est mesurable, \(g^{-1}(A)\in \mathscr T_2\text{.}\)
Puisque \(f\) est mesurable, on a donc \(f^{-1}(g^{-1}(A))\in \mathscr T_1\text{,}\) ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire 6.3.2.
\(\bullet\) Soit \(f:(X,\mathscr T)\rightarrow(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) mesurable. Alors les fonctions \(|f|,\ f^n\) (pour tout entier \(n\)) et \(\lambda f\) (pour tout réel \(\lambda\)) sont aussi mesurables.
De plus , les fonctions \(f_+=\max(f,0)\) et \(f_-=\max(-f,0)\) 1
\(\bullet\) Si \(f:(X,\mathscr T)\rightarrow (\mathbb R^*,\mathscr B(\mathbb R^*))\) est mesurable, alors la fonction \(\frac 1f\) est aussi mesurable.
Preuve.
Les fonctions \(\mathbb R\rightarrow \mathbb R\) : \(x\mapsto x^n\text{,}\) \(x\mapsto |x|\text{,}\) \(x\mapsto \lambda x\text{,}\) \(x \mapsto \min(x,0)\) et \(x\mapsto \max(-x,0)\) sont toutes continues, donc boréliennes. La composée avec \(f\) est donc mesurable.
Proposition 6.3.3.
Soient \(f,g: (X,\mathscr T)\rightarrow(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) deux fonctions mesurables. Alors les fonctions \(f+g, fg, \min(f,g), \max(f,g)\) sont mesurables.
Si \(g\) est à valeurs dans \(\mathbb R^*\text{,}\) \(\frac fg\) est mesurable.
Preuve.
\(\bullet\) Soit \(a\in\mathbb R\text{.}\) Alors
En effet,
\(\boxed{\subset}\) Soit \(x\in X\) tel que \(f(x)+g(x)>a\text{,}\) alors \(\lbb a-g(x),f(x)\rbb \neq \emptyset\text{.}\) Par densité des rationnels dans \(\mathbb R\text{,}\) il existe donc \(q\in \mathbb Q\) tel que \(q\in \lbb a-g(x),f(x)\rbb \text{.}\) Mais alors
d'où \(x\in \bigcup_{q\in\mathbb Q} \big(f^{-1}(\lbb q,+\infty\rbb )\cap g^{-1}(\lbb a-q,+\infty\rbb )\big)\text{.}\)
\(\boxed{\supset}\) Soit \(x\) tel que, pour un certain rationnel \(q\text{,}\) on ait \(x\in f^{-1}(\lbb q,+\infty\rbb )\cap g^{-1}(\lbb a-q,+\infty\rbb )\text{.}\) Alors
donc \(x\in (f+g)^{-1}(\lbb a,+\infty\rbb )\text{.}\)
Or, puisque \(f\) et \(g\) sont mesurables, \(f^{-1}(\lbb q,+\infty\rbb )\in\mathscr T\) et \(g^{-1}(\lbb a-q,+\infty\rbb )\in\mathscr T\text{,}\) et, puisque \(\mathscr T\) est stable par intersection et union dénombrable, on a bien \((f+g)^{-1}(\lbb a,+\infty\rbb )\in\mathscr T\text{.}\) Ceci étant vrai pour tout \(a\in\mathbb R\text{,}\) \(f+g\) est mesurable.
\(\bullet\) Remarquons que \(fg=\frac12\big((f+g)^2-f^2-g^2\big)\text{,}\) or on vient de voir que \(f+g\) était mesurable, ainsi que \(f^2,g^2\) et \((f+g)^2\) par le corollaire précédent.
Dans la foulée, on obtient que si \(g\) ne s'annule pas, alors \(\frac fg=f \times \frac 1g\) est mesurable.
\(\bullet\) Soit \(a\in\mathbb R\) et notons \(m(x)=\min(f(x),g(x))\text{.}\) Alors
Puisque \(f\) et \(g\) sont mesurables, \(f^{-1}(\lbb a,+\infty\rbb ), g^{-1}(\lbb a,+\infty\rbb )\in \mathscr T\) donc \(m^{-1}(\lbb a,+\infty\rbb )\in \mathscr T\text{.}\) Ceci étant vrai pour tout \(a\in\mathbb R\text{,}\) \(\min(f,g)\) est mesurable.
Dans la foulée, on obtient aussi que \(\max(f,g)=f+g-\min(f,g)\) est mesurable.
Remarque 6.3.4.
On aurait aussi pu utiliser le fait que les applications \(\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R\text{:}\) \((x,y)\mapsto x+y\text{,}\) \((x,y)\mapsto xy\text{,}\) \((x,y)\mapsto \max(x,y)\) et \((x,y)\mapsto \min(x,y)\) sont continues, et que la fonction
est mesurable 2 .
Mais où serait alors le challenge ?