Probabilité, mesure, et intégration

Section 8.1 Tribu produit

On va considérer non pas un, mais deux espaces mesurés \((X,\T,\mu)\) et \((Y,\S,\nu)\text{.}\)

Hypothèse importante: On suppose de plus que \(\mu\) et \(\nu\) sont \(\sigma\)-finies 4.1.4, ce qui veut dire qu'on peut recouvrir \(X\) (respectivement, \(Y\)) par une union dénombrable d'ensembles de mesure finie pour la mesure \(\mu\) (resp \(\nu\)). Plus précisément,

• Il existe \((E_{n})_{n}\in\T^{\N}\) croissante telle que \(\bigcup_{n\in\N}E_{n}=X\) et, pour tout \(n\in\N\text{,}\)\(\mu(E_{n})\lt\infty\text{;}\)

• Il existe \((F_{n})_{n}\in\S^{\N}\) croissante telle que \(\bigcup_{n\in\N}F_{n}=Y\) et, pour tout \(n\in\N,\nu(F_{n})\lt \infty\text{.}\)

Par exemple, la mesure de Borel \(\mu_{1}\) sur \(\R\) est \(\sigma\)-finie, puisque

Puisqu'on veut calculer des intégrales sur \(X\times Y\text{,}\) on commence par le rendre mesurable: on définit une tribu dessus, créativement appelée:

Mais du coup, dans le cas où \(X=Y=\R\text{,}\) on a maintenant deux tribus possibles sur \(\R^2=\R\times \R\text{:}\)

• La tribu des boréliens de \(\R^2\text{,}\) engendrée par les ouverts de \(\R^2\text{:}\)

  \begin{equation*} \mathscr B(\R^2)=\tau(\mathcal O_{\R^2}) \end{equation*}

• La tribu produit qu'on vient de définir, avec \((X,\T) = (Y,\S) = (\R,\B(\R))\text{:}\)

  \begin{equation*} \B(\R)\otimes \B(\R) = \tau\left(\left\{B_1\times B_2, B_1,B_2\in \B(\R)\right\}\right) \end{equation*}

Le miracle, c'est que ces deux tribus naturelles sur \(\R^2\) sont en fait la même:

Un autre question du même genre concerne les produits de trois ensembles mesurables \((X_1,\T_1),(X_2,\T_2),(X_3,\T_3)\text{:}\) si on veut une tribu sur \(X_1\times X_2 \times X_3\text{,}\) on peut prendre

• \(\T_1\otimes\T_2\otimes T_3= \tau\left(\left\{A_1\times A_2\times A_3, A_1\in \T_1,A_2\in\T_2,A_3\in\T_3\right\}\right)\text{,}\) comme dans la deuxième partie de la Définition 8.1.1

• \((\T_1\otimes \T_2)\otimes \T_3\) : d'abord on prend la tribu produit \(\T=\T_1\otimes \T_2\) sur \(X_1\times X_2\text{,}\) comme dans la première partie de la définition, puis, sur \(X_1\times X_2\times X_3=(X_1\times X_2)\times X_3\text{,}\) on prend la tribu \(\T\otimes \T_3\text{.}\)

• \(\T_1\otimes (\T_2\otimes \T_3)\) : d'abord on prend la tribu produit \(\T'=\T_2\otimes \T_3\) sur \(X_2\times X_3\text{,}\) comme dans la première partie de la définition, puis, sur \(X_1\times X_2\times X_3=X_1\times( X_2\times X_3)\text{,}\) on prend la tribu \(\T_3\otimes \T'\text{.}\)

\(\leadsto\) Mais du coup, laquelle est la bonne ?

La première solution a un côté plus simple: on fait une seule étape, et on n'a pas de choix de parenthésage.

Mais si on veut faire des raisonnements par récurrence sur les espaces produits, il nous faudrait un moyen de passer de "la" tribu sur \(X_1\times X_2\) à "la" tribu sur \(X_1\times X_2 \times X_3\text{,}\) et ça, ça va être plus facile avec les deux autres !

Et le problème est encore pire avec quatre, cinq,...\(n\) ensembles mesurables: que faut-il prendre,

Un autre petit miracle nous sort de ce dilemme:

et par récurrence, si on a 26 espaces mesurables, on n'a pas 1836735307215¹ façons de mettre "naturellement" une tribu dessus.

Par exemple:

Exercice 8.1.1. Boréliens de \(\R^2=\R\times \R\).

(a)

Montrer que la diagonale

\begin{equation*} D= \left\{(x,y)\in\mathbb R^2,\, x=y \right\} \end{equation*}

est un borélien de \(\mathbb R^2\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Montrer qu'il n'existe pas de boréliens \(B_1,B_2\in\B(\R)\) tels que

\begin{equation*} D=B_1\times B_2 \end{equation*}

(c)

Montrer que

\begin{equation*} B= \left\{(x,y)\in\mathbb R^2,\, x^2+y^2=1,\ x\notin\mathbb Q\right\} \end{equation*}

est un borélien de \(\mathbb R^2\text{.}\)

Spoiler.

(d)

Montrer que, là non plus, il n'existe pas de boréliens \(B_1,B_2\in\B(\R)\) tels que

\begin{equation*} B=B_1\times B_2 \end{equation*}

et notons que:

Terminons sur un résultat encourageant sur les fonction à valeurs dans un espace produit:

Maintenant qu'on a sélectionné des sous-ensembles mesurables de \(X\times Y\text{,}\) comment va-t-on pouvoir les mesurer ?

\(\leadsto\) A l'aide de la....mesure produit.