Section 5.1 Sous-ensembles négligeables
Commençons par cimenter notre mépris pour les ensembles de petite taille:
Définition 5.1.1.
Soit \((X,\mathscr T,\mu)\) un espace mesuré. On dit qu'un sous-ensemble \(N\subset X\) est négligeable s'il existe un ensemble mesurable \(A\in\mathscr T\) tel que \(N\subset A\) et \(\mu(A)=0\text{.}\)
On note \(\mathscr N(\mu)\) l'ensemble des parties négligeables de \((X,\mathscr T,\mu)\text{.}\)
En particulier, si \(N\in \mathscr T\text{,}\) \(N\) est \(\mu\)-négligeable ssi \(\mu(N)=0\text{.}\) Mais les parties négligeables ne sont pas forcément mesurables. Si c'est le cas, autrement dit si, pour tout \(N\in \mathcal P(X),\)
on dit que la tribu \(\mathscr T\) est \(\mu\)-complète (ou que la mesure \(\mu\) est complète.)
On verra que ce n'est pas le cas de la mesure de Borel. Toutefois, il est possible de construire une tribu et une mesure complètes à partir de n'importe quelle mesure: dans le cas de la mesure de Borel, on appelle tribu de Lebesgue la tribu \(\mathscr L(\mathbb R)\) ainsi obtenue, et mesure de Lebesgue la mesure correspondante sur \((\mathbb R, \mathscr L(\mathbb R))\text{.}\)
Exercice 5.1.1. Parties \(\delta_a\)-négligeables..
(a)
Soit \(X\) un ensemble, \(a\in A\text{.}\) On considère la mesure de Dirac \(\delta_a\) en \(a\) (introduite à l'Exercice 4.2.1). On munit \(X\) de la tribu \(\mathcal P(X)\text{.}\) Déterminer les parties \(\delta_a\)-négligeables de \(X\text{.}\)
(b)
On munit cette fois \(X\) de la tribu \(\{X,\emptyset\}\text{.}\) Déterminer les parties \(\delta_a\)-négligeables dans ce cas.
Petit Exercice 5.1.2.
Soit \((a_n)_n \in (\mathbb R_+)^{\mathbb N}\) une suite de réels positifs, on considère la mesure sur \((\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))\) définie par
Déterminer les parties \(\mu\)-négligeables.
Exercice 5.1.2. Parties négligeables pour la mesure de Borel..
(a)
Montrer que l'ensemble
est \(\mu_2\)-négligeable.
(b)
Montrer que le segment reliant \((1,1)\) et \((2,2)\) dans \(\mathbb R^2\text{:}\)
est \(\mu_2\)-négligeable.
(c)
Soit \(a\in \mathbb R^2\text{,}\) \(v\in \mathbb R^2\) Montrer que la droite vectorielle passant par \(a\) et dirigée par \(v\text{:}\)
est \(\mu_2\)-négligeable.
(d)
Montrer que le cercle unité:
est \(\mu_2\)-négligeable.
On pourra utiliser le fait que si \(D\) est un disque de rayon \(r\text{,}\) l'aire de \(D\) est donnée par \(\mu_2(D)=\pi r^2\text{.}\)