Exemples de fonctions mesurables

Section 6.2 Exemples de fonctions mesurables

Définition 6.2.1.

Soient \((X,\mathscr T)\) et \((Y,\mathscr S)\) deux ensembles mesurables, et soit \(f:X\rightarrow Y\) une fonction. On dit que \(f\) est mesurable de \((X,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\) si

\begin{equation*} \forall\, B\in \mathscr S,\ f^{-1}(B)\in \mathscr T \end{equation*}

On note \(\mathcal L^0((X,\mathscr T),(Y,\mathscr S))\) l'ensemble des fonctions mesurables de \((X,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

Rappel: Si \(f:X\rightarrow Y\) est une fonction, et \(B\subset Y\text{,}\) on peut définir l'ensemble \(f^{-1}(B)\) des antécédents des éléments de \(B\) par \(f\)¹, autrement dit:

\begin{equation*} f^{-1}(B)=\{x\in X,f(x)\in B\} \end{equation*}

(Même si la notation peut induire en erreur, l'existence d'une bijection réciproque \(f^{-1}\) n'est pas du tout nécessaire pour définir cet ensemble).

Petit Exercice 6.2.2. Fonctions constantes.

Soit \(h:X\rightarrow Y\) une fonction constante. Montrer que, quelle que soit la tribu \(\mathscr T\) sur \(X\) et quelle que soit la tribu \(\mathscr S\) sur \(Y\text{,}\) \(h\) est mesurable de \((X,\mathscr T)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

Spoiler.

Comme on va le voir dans les exercices ci-dessous, plus il y a de monde dans \(\mathscr T\) et moins il y en a dans \(\mathscr S\text{,}\) plus il y a de fonctions mesurables:

Exercice 6.2.1. Taille des tribus et mesurabilité.

(a)

Soit \((Y,\mathscr S)\) un ensemble mesuré. On munit \(X\) de la tribu \(\mathcal P(X)\text{.}\) Montrer que toute fonction \(f:X\rightarrow Y\) est mesurable de \((X,\mathcal P(X)\) dans \((Y,\mathscr S)\text{.}\)

Spoiler.

(b)

Soit \((Y,\mathscr S)\) un ensemble mesuré tel que \(\mathscr S\) contient les singletons. On munit \(X\) de la tribu \(\{X,\emptyset\}\text{.}\) Montrer que, pour toute fonction \(f:X\rightarrow Y\text{,}\)

\begin{equation*} f\in \mathcal L^0((X,\{X,\emptyset\}),(Y,\mathscr S)) \iff f\text{ constante}. \end{equation*}

Spoiler.

Petit Exercice 6.2.3. Exemple 1.

Reprenons la tribu \(\mathscr T_3\) de parties de \(\mathbb R\) définie à l'exemple [cross-reference to target(s) "Ex3" missing or not unique]:

\begin{equation*} \mathscr T_3=\{A\subset \mathbb R, A=-A\} \subset\mathcal P(\mathbb R) \end{equation*}

Montrer qu'une fonction \(f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R\) est mesurable de \((\mathbb R,\mathscr T_3)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\)² si, et seulement si, elle est paire.

Indice.

On peut procéder par double implication: en supposant que \(f\) est paire, montrer que l'image réciproque de tout borélien est dans \(\mathscr T_3\text{,}\) i.e. est symétrique par rapport à 0. Réciproquement, si \(f\) n'est pas paire, alors il existe \(x\in \mathbb R\) tel que \(f(x)\neq f(-x)\text{.}\) Que donne alors l'image réciproque par \(f\) du borélien \(\{f(x)\}\) ? Contient-il \(-x\) ?

Spoiler.

Petit Exercice 6.2.4. Exemple 2.

Soit \((X,\mathscr T\) un ensemble mesurable, et \(A\subset X\text{.}\) Reprenons la tribu \(\mathscr T_A\) de parties de \(X\) définie à l'exemple [cross-reference to target(s) "Ex4" missing or not unique]:

\begin{equation*} \mathscr T_A=\{B\in \mathscr T, A\subset B \text{ ou } A\cap B = \emptyset\} \subset\mathcal P(X) \end{equation*}

Montrer qu'une fonction \(f:X\rightarrow \mathbb R\) est mesurable de \((X,\mathscr T_A)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) si, et seulement si, \(f\) est constante sur \(A\text{.}\)

Indice.

On peut (encore) procéder par double implication: en supposant que \(f_{|A} =c\text{,}\) que peut on dire de l'image réciproque d'un borélien \(B\text{,}\) en séparant les cas \(c\in B\) et \(c\notin B\text{.}\) Réciproquement, si \(f\) n'est pas constante sur \(A\text{,}\) alors il existe \(a_1,a_2\in A\) tels que \(f(a_1)\neq f(a_2)\text{.}\) Il s'agit de trouver un borélien dont l'image réciproque intersecte \(A\) mais ne contient pas \(A\) en entier.

Spoiler.

Soit \((X,\mathscr T)\) un espace mesuré. Rappelons que, si \((X_i)_{i\in I}\) est une partition au plus dénombrable de \(X\) telle que, pour tout \(i\in I\text{,}\) \(X_i\in \mathscr T\text{,}\) alors

\begin{equation*} f\in \mathcal L^0((X,\mathscr T);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))) \iff \forall i \in I,\, f_{|X_i}\in \mathcal L^0((X_i,\mathscr T_i);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))), \end{equation*}

où \(\mathscr T_i=\{X_i \cap A, A\in \mathscr T\}\) est la tribu-trace de \(\mathscr T\) sur \(X_i\text{.}\)

Exercice 6.2.2. Exemple 3: Partitions de \(X\).

(a)

Soit \(X\) un ensemble, \((X_i)_{i\in I}\) est une partition au plus dénombrable de \(X\text{.}\) On considère sur \(X\) la tribu \(\mathscr T\) engendrée par la partition \((X_i)\text{,}\) comme en [cross-reference to target(s) "ex_trib_part" missing or not unique] :

\begin{equation*} \mathscr T = \tau(\{X_i, i\in I\}) \end{equation*}

Soit \(f:X\rightarrow \mathbb R\) une fonction. Montrer que si \(f\) est mesurable de \((X,\mathscr T)\) dans \((\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R))\) alors \(f\) est constante sur chaque \(X_i\text{.}\)

Indice.

Commencer par déterminer la tribu-trace \(\mathscr T_i\) de \(\mathscr T\) sur chaque \(X_i\text{,}\) puis utiliser Exercice 6.2.1.

Spoiler.

(b)

Réciproquement, montrer que si \(f\) est constante sur chaque \(X_i\) alors \(f\in \mathcal L^0((X,\mathscr T);(\mathbb R,\mathscr B(\mathbb R)))\text{.}\)

Indice.

Pour un borélien donné \(B\text{,}\) il s'agit de trouver un sous-ensemble \(J\subset I\) tel que \(f^{-1}(B)=\cup_{j\in J}X_j\text{.}\)

Spoiler.

Remarque: Dans l'exemple précédent, on peut prendre pour espace d'arrivée n'importe quel espace mesurable \((Y,\mathscr S)\) qui contient les singletons.

(même si \(f\) n'est pas bijective !)

où \(\mathscr B(\mathbb R)\) désigne les boréliens de \(\mathbb R\)