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Section 7.3 Théorème de convergence monotone

On l'avait vu, l'intégrale de Riemann est, regrettablement, très contraignante quand on souhaite passer à la limite. Le théorème de convergence monotone, aussi appellé théorème de Beppo-Levi 1   2 , nous permet de le faire sans CGU, pour les suites croissantes de fonctions positives. Cela reste restrictif, mais permet de vérifier que notre intégrale a toutes les propriétés requises.

Figure 7.3.1. Beppo Levi himself

On a vu à la Proposition Proposition 6.4.1 que la limite \(f\) est mesurable.

Pour l'égalité entre intégrale de la limite et limite des intégrales, on procède par double inégalité:

  • \(\boxed{\geq}\) Notons, pour \(n\in\mathbb N\text{,}\) \(\alpha_n=\int_X f_n d\mu\text{.}\) Alors, d'après la propriété de monotonie de l'intégrale 5 , puisque \(f_n\leq f_{n+1}\text{,}\) on a aussi \(\alpha_n\leq \alpha_{n+1}\text{,}\) donc \(\alpha =\lim_{n\rightarrow \infty}\alpha_n\) existe dans \(\rbb 0,+\infty\lbb \text{.}\)

    Par ailleurs, pour tout \(n\in\mathbb N\text{,}\) \(f_n\leq f\) donc, toujours par monotonie, on a pour tout \(n\text{,}\)

    \begin{equation*} \alpha_n= \int_X f_n d\mu\leq \int_X f d\mu \end{equation*}

    d'où, par passage à la limite,

    \begin{equation*} \boxed{ \alpha =\lim_{n\rightarrow \infty}\int_X f_n d\mu\leq \int_X f d\mu } \end{equation*}

  • \(\boxed{\leq}\) On utilise la définition alternative Petit Exercice 7.2.4. Soit donc \(e\in \mathscr E^+(X,\mathscr T)\) une fonction étagée telle que \(e\leq f\text{,}\) et soit \(c\in \lbb 0,1\rbb \text{.}\) On pose, pour \(n\in\mathbb N\text{,}\)

    \begin{equation*} A_n=\{x\in X, f_n(x)\geq c e(x)\} \end{equation*}

    Alors, puisque \(A_n=(f_n-ce)^{-1}(\rbb 0,+\infty\lbb )\text{,}\) \(A_n\) est mesurable. De plus, puisque la suite \((f_n)_n\) est croissante, \(A_n\subset A_{n+1}\text{,}\) et \(X=\bigcup_n A_n\) puisque

    \begin{align*} x\in {}^c\left(\bigcup_n A_n\right) = \bigcap_n {}^cA_n \amp \iff \forall\, n,0\leq f_n(x)\lt ce(x) \\ \amp \Rightarrow e(x)\gt 0 \text{ et } f(x)\leq ce(x)\\ \amp \Rightarrow f(x)\lt e(x):\text{ Contradiction.} \end{align*}

    Ecrivons \(e\) sous la forme \(e=\sum_{j=1}^n \beta_j \mathbb{1}_{B_j}\text{.}\) Alors on a:

    \begin{align*} \int_{A_n}ced\mu \amp = \int_X \mathbb 1_{A_n}(\sum_{j=1}^n c\beta_j \mathbb{1}_{B_j})d\mu \\ \amp = \sum_{j=1}^n c\beta_j \mu(B_j\cap A_n)\\ \amp \xrightarrow{n\rightarrow\infty} \sum_{j=1}^n c\beta_j \mu(B_j) \text{ par union croissante}\\ \amp =c\int_X ed\mu \end{align*}

    Remarque 7.3.3.

    Au passage, on observe que pour une fonction en escaliers \(e\) et une constante \(\lambda\text{,}\) on a \(\int_X \lambda e d\mu = \lambda \int_X e d\mu.\)

    Or, \(f_n\geq \mathbb 1_{A_n}f_n \geq \mathbb 1_{A_n} e\) donc

    \begin{equation*} \int_X f_n d\mu \geq \int_{A_n}f_n d\mu \geq \int_{A_n}ced\mu \end{equation*}

    d'où, par passage à la limite, \(\lim \int_X f_n d\mu \geq c \int_X e d\mu\text{.}\) En passant au sup sur \(c\in \lbb 0,1\rbb \text{,}\) on obtient \(\lim \int_X f_n d\mu \geq \int_X e d\mu\text{,}\) et en passant au sup sur les \(e\in \in \mathscr E^+(X,\mathscr T)\) telles que \(e\leq f\text{,}\) on a bien

    \begin{equation*} \boxed{ \lim_{n\rightarrow \infty}\int_X f_n d\mu\geq \int_X f d\mu. } \end{equation*}

Remarque 7.3.4.

Le théorème devrait en fait s'appeler "Théorème de Convergence Croissante", car le résultat ne fonctionne pas avec une suite décroissante de fonctions mesurables positives. En effet, pour \(n\in \mathbb N\text{,}\) considérons la suite de fonctions (mesurables sur \((\mathbb R, \mathscr B(\mathbb R))\)):

\begin{equation*} f_n:x\in \mathbb R \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \geq n\\ 0 \text{ sinon.} \end{cases} \end{equation*}

Alors \((f_n)_{n\geq 0}\) est une suite décroissante defonctions mesurables positives, mais \((f_n)_n\) converge simplement vers la fonction nulle, tandis que

\begin{equation*} \int_X f_n d\mu =+\infty \nrightarrow 0 \end{equation*}

En revanche, si on suppose de plus que l'intégrale de \(f_0\) est finie, alors on a bien:

Pour démontrer ceci, on aura besoin de la linéarité de l'intégrale. On remet donc ça à un peu plus tard. Voyons d'abord comment le théorème de convergence monotone nous donne les propriétés essentielles qu'on attend de notre intégrale toute neuve.

Le plan est le suivant: on va approcher \(f\) et \(g\) par une suite croissante de fonctions étagées via le Théorème 6.5.4, vérifier que la propriété est vraie pour les fonctions étagées, puis passer à la limite via le Théorème 7.3.2.

Y a plus qu'à.

  • Vérifions d'abord que la propriété est vraie pour les

References Pour aller plus loin:

en.wikipedia.org/wiki/Beppo_Levi
C'est une seule personne!
au sens où, pour tout \(x\in X, f_n(x)\leq f_{n+1}(x)\)
Pourquoi sommes-nous si sûrs qu'elle existe ?
Proposition 7.2.2
www.math3ma.com/blog/monotone-convergence-theorem